快速傅里叶变换(Fast Fourier Transformation, FFT) 实时谱分析是DSP应用的核心技术之一，而在高速实时信号处理中，常采用专门集成电路(ASIC)来实现。FPGA是一种具有大量的可编程逻辑单元的器件，它的应用使得电子产品不仅具有高速度、高集成度和高可靠性，而且具有用户可编程特性，能降低设计风险。实验表明，用FPGA实现的实时谱分析系统既有专用ASIC电路实现的快速性，又有DSP器件实现的灵活性，非常适用于高速实时的数字信号处理。
1 FFT实时信号处理系统的总体设计
　　FFT频谱分析系统主要由1024点基-4 FFT模块和接口控制电路组成。其中，基-4 FFT模块用于实现一组1024点复数数据的FFT变换；接口控制电路负责控制1024点基-4 FFT模块，并对A/D采样输出的数据进行缓存、速率匹配等，协调整个FFT频谱分析系统的工作时序。
　　在本设计中，FFT实时谱分析系统的1024点基-4 FFT算法采用FPGA实现。FPGA的总体框图如图1所示。其中，衰减限幅模块负责对数据进行衰减及限幅压缩处理；双口RAM负责存储外部输入的原始数据及经过蝶形运算后的中间数据；四点FFT模块完成4点DFT运算；地址控制模块负责产生读地址、写地址、写使能信号以及相关模块的启动、控制信号，是FFT系统的控制核心；复乘运算模块是系统运算的核心部分，采用CORDIC算法实现；旋转因子产生器产生复乘运算中的旋转因子的角度数据；倒序模块实现频谱正常顺序输出。

2 功能模块的设计
2.1 衰减限幅模块
　　FFT实时谱分析系统采用的算术运算方案是定点运算" title="定点运算">定点运算，衰减限幅模块实现了定比例衰减、尾数处理和压缩信号电平的作用，用以防止数据溢出。模块框图如图2所示，其压缩特性如图3所示。

2.2 四点FFT模块
　　四点FFT模块完成四点DFT变换，变换公式如下：

　　四点FFT模块中完全不需要复数乘法，乘-j只需将实部虚部交换，再加上必要的正负号即可。四点FFT模块采用流水线工作方式，每四个时钟周期完成一组四点FFT运算。在输入一组四点原始数据x(i)时，要完成两项工作：①进行上一组四点FFT的第二级运算，即计算并输出上一组四点FFT的结果X(k)；②进行本组四点FFT的第一级运算，即计算本组四点FFT的中间结果X′(k)。这样充分利用了硬件资源。
2.3 复乘运算模块
　　复乘运算是FFT处理器中两种最频繁的运算之一，因而复乘运算模块也是FFT处理器中的一个重要模块。输入复数数据x_r+jx_i与旋转因子cosα+jsinα相乘的公式为：

　　利用CORDIC的圆周旋转的向量工作模式可以实现复乘运算，所采用的迭代方程组如下：

　　所以，只需将需要运算的角度值作为z0输入，经过旋转迭代后，迭代结果的xn和yn就是所需要的旋转因子复乘的运算值。即：

　　复乘运算模块的工作流程如图4所示。

　　从复乘运算的算法流程中可以看到，实现复乘运算的主要元件有加法器、移位器和多选一数据选择器等。组成流水线后，各流水单元结构相似，很适合用FPGA实现。
2.4 旋转因子产生模块
　　在一个基-4蝶形运算单元中，包含W^P、W^2P和W^3P三个旋转因子，每组基-4蝶形运算的第一个输出数据所乘的旋转因子总为1。在同一个蝶形组内，p值是不变的，因而只需确定一个p值，三个旋转因子便可确定下来。每当一个基-4蝶形组计算完毕而转入下一个蝶形组时，p值改变一次，其变化的顺序恰好是(L-1)位四进制数顺序加1的倒序输出。由此可以根据蝶形运算的级数和四点FFT的节点位置计算出对应的旋转因子的角度。
　　由于=cos()-jsin()，在程序中将小数cos()和-sin()转换成定点数，变换为二进制数进行计算。
　　本设计的复乘运算采用CORDIC算法实现，需要输入角度值作为进行复乘运算的相应旋转因子的角度，因此旋转因子产生模块输出的数据即对应旋转因子的角度值，模块中包括10位计数器和一个计算输出进程。程序的运算流程如图5所示。

　　本设计采用直接计算旋转因子的方法，不需要产生旋转因子的读取地址和额外的ROM资源，简化了设计，但需要一直进行角度值的计算，增加了系统的运算时间。
3 FFT实时频谱分析系统的实现
　　本设计采用Synplicity公司的逻辑综合软件Synplify7.1 pro进行设计综合，用Xilinx的ISE6.1布局布线。实现后的系统的时序分析结果表示，系统有9.139ns的延迟，系统时钟周期可达10.817ns，系统频率达到92.4MHz。当系统频率为90MHz时，1024点FFT运算需要的时间大约为68.3μs，完全可以满足实时处理的要求。本文采用Xilinx公司的Virtex-Ⅱxc2v500 fg456-5 FPGA器件实现系统，设计使用资源状况如表1所示。

　　本FFT实时谱分析系统采用定点运算方案，输入为12位复数数据，输出为14位复数数据。采用方波信号进行测试，其参数为：脉冲幅度H=100，脉冲宽度M=10。本FFT实时谱分析系统输出的幅值如图6所示，输出的幅值的相对误差" title="相对误差">相对误差如图7所示。相对误差较大的一些点均出现在标准FFT输出的幅值很小的点上，这是由于有限字长效应引起相对误差造成的。同时由于采用的算术运算方案是定点运算，加剧了小信号的信噪比的恶化。但在实际应用中这些输出幅值很小的点会被判别为频谱上的噪声点，对实际的频谱分析影响不大，故对系统的误差影响并不大。而在标准FFT输出的幅值较大的点上，相对误差则很小。