摘 要：分析了变步长LMS算法自适应滤波器基本原理，使用MATLAB对其进行仿真，并应用SZ-EPP5402评估板进行了DSP实现，结果表明，变步长LMS算法能够克服固定步长LMS算法的矛盾，具有较快收敛速度与较小稳态误差。
关键词：LMS算法；自适应滤波器；DSP

在数字信号处理中，滤波技术占有极其重要的地位。自适应滤波器是利用前一时刻已获得的滤波器参数，自动地调节、更新现时刻的滤波器参数，以适应信号和噪声未知的统计特性，从而实现最优滤波[1]。当在未知统计特性的环境下处理观测信号时，利用自适应滤波器可以获得令人满意的效果，其性能远超过通用方法所设计的固定参数滤波器。在通信、雷达、声纳、控制工程及生物医学等领域应用广泛。
　　选择DSP完成自适应滤波器的设计，具有稳定性好、精确度高、不受环境影响、灵活性好等优点。固定步长LMS算法滤波器在收敛速度与稳态误差之间存在矛盾，加快收敛速度的同时也会增大稳态误差。本文使用变步长LMS算法对其进行改进，在TMS320C5402DSP芯片上实现了基于固定步长与变步长LMS算法的自适应滤波器，结果表明，变步长LMS算法自适应滤波器性能得到明显改善，在加大其收敛速度的同时也很好地减小了稳态误差。
1 自适应滤波器基本结构和LMS算法
1.1 自适应滤波器基本结构
　　自适应滤波器由2个分离的部分组成[2]：(1)滤波器，为完成期望的处理功能而设计；(2)自适应算法，调节滤波器系数，以改进性能。自适应横向型滤波器的结构如图1所示。图1中x(n)为输入信号，通过权系数可调的数字滤波器产生输出信号y(n)，将y(n)与期望信号d(n)进行比较，得到误差信号e(n)。e(n)和x(n)通过自适应算法对滤波器参数进行调整，按照某种算法准则判断误差信号e(n)是否达到最小。重复以上过程，滤波器逐渐掌握了输入信号与噪声规律，以此为依据调节自身参数，达到最佳滤波效果。令W(n)为图1中滤波器系数矢量，即W(n)=[W₀(n)，W₁(n)，…，W_N(n)]，则自适应滤波器的输出为：

1.2 LMS算法
　　最常用的判断e(n)的准则为最小均方算法，即LMS算法。算法的目标是通过调整系数，使输出误差序列e(n)=d(n)-y(n)的均方值最小化，并且根据这个判据来修改权系数[3]。其中误差序列的均方值又叫“均方误差”MSE(Mean Square Error)，即：

　　目标函数ε是W的二次函数，形成一个碗状抛物面(性能曲面)，此曲面有唯一最低点即为碗底最小点，自适应滤波系数的起始值位于曲面的某一点，经过自适应调节，滤波系数变化，向碗底最小点移动，最终到达最小点[4]。系数变化按照梯度负方向移动达到最小点的速度最快，令▽(n)表示n时刻的N×1维梯度矢量，N是滤波器系数个数，自适应滤波器系数矢量的变化与梯度的关系为：

将式(7)代入式(6)得到：

　　初始收敛速度与稳态误差是衡量自适应滤波算法优劣的2个重要技术指标[5]。减小步长μ可减小自适应算法的稳态误差，但却减慢了算法初始收敛速度；增大步长μ可加快算法收敛速度，但却增大了稳态误差。因此，固定步长LMS算法在加快算法初始收敛速度与减小稳态误差之间存在矛盾。
2 变步长LMS算法
为了克服固定步长LMS算法收敛速度与稳态误差之间的矛盾，提出变步长LMS自适应算法。即在初始阶段选用较大步长，使算法有较快初始收敛速度，随着收敛加深之后采用较小步长来减小稳态误差。本文中变步长μ公式为：

　　在变步长LMS算法中，由于，在此范围内，变步长LMS算法得以收敛，而由于μ(n)是变化的，在初始阶段选用较大步长μ1，使得变步长LMS算法比固定步长LMS算法具有更快的收敛速度。当算法逐渐进入收敛稳定时，选用较小步长μ2，使稳态误差随步长减小而减小，因此，变步长LMS算法具有比固定步长LMS算法更小的稳态误差。
3 自适应滤波器的MATLAB仿真
实验中，设计一个简单二阶加权自适应横向滤波器，用单频正弦信号与一个随机噪声进行叠加作为系统输入信号x(n)，选取1 000个采样点，根据自适应滤波器迭代方程设计自适应滤波器，对输入信号x(n)进行滤波。固定步长LMS算法选用步长μ为0.002 6，变步长LMS算法在算法初始300个采样点时选取μ1为0.004 2，在算法初始收敛逐渐加深后，后面700个采样点选取μ2为0.002 1。仿真结果如图2所示。
从图2(b)中可以看出，固定步长LMS算法滤波结果在开始阶段收敛速度比较慢，有较大稳态误差，算法有待改善。图2(c)中变步长LMS算法滤波结果比固定步长LMS算法具有更快初始收敛速度与较小稳态误差，滤波效果得到明显改善，滤波性能优于固定步长LMS算法。从仿真角度证明了变步长LMS算法的优越性与可行性。

4 自适应滤波器的DSP实现
　　为了提高LMS算法的处理速度且减小系统硬件规模，采用TI公司的TMS320C5402芯片作为核心芯片实现该算法。该处理器采用程序与数据分开的哈佛体系结构，片上有16 KB存储器，外部扩展32 KB的数据存储器，64 KB的程序存储器；具有高度并行性。用C语言实现变步长LMS算法子程序流程如图3所示。其中，N为迭代次数；order为阶数；μ₁、μ₂为步长；count为当前采样点；NS为采样点数。

　 从图4(b)中可以看出，在滤波初始阶段，滤波结果不明显，输入的叠加信号经过自适应滤波器后，在初始阶段噪声没有得到明显抑制，存在较大稳态误差，收敛速度比较慢，收敛速度和稳态误差都有待改善。从图4(c)中可以看出，在滤波初始阶段，稳态误差已得到明显改善，有较小稳态误差，初始收敛速度也有所加快，输入的叠加信号经过自适应滤波器后，噪声得到明显抑制，滤波性能明显优于固定步长LMS算法，具有较快收敛速度与较小稳态误差，很好地克服了固定步长存在的矛盾。
　　初始收敛速度与稳态误差是衡量自适应滤波算法性能优劣的2个重要技术指标。本文通过对固定步长和变步长LMS算法自适应滤波器进行MATLAB仿真与DSP实现，比较二者结果，证明了变步长LMS算法能够保证较快的收敛速度与较小的稳态误差，并能有效去除不相关的独立噪声干扰，克服固定步长在增大初始收敛速度与减小稳态误差之间存在的矛盾，优化了自适应滤波器的性能，滤波效果明显。

参考文献
[1] SHIREEN W， TAO L I.A DSP-based active power filter for low voltage distribution systems[J].Electric Power
Systems Research，2008，78：1561-1567.
[2] 吕振肃，熊景松.一种改进的变步长LMS自适应算法[J].信号处理，2008，24(1)：144-146.
[3] KUKRER O，HOCANIN A.Frequency-response-shaped LMS adaptive filter[J].Digital Signal Processing，2006，
16：855-869.
[4] 叶永生，余容桂，吴霄.一种新的自适应最小均方算法及其应用研究[J].电测与仪表，2008，45(7)：19-22.
[5] 张会生，闫学斌，秦勇，等.LMS算法自适应滤波器的DSP实现[J].通信技术，2006(10)：72-73.