摘 要:介绍了较为常见的k-means、层次聚类、SOM、FCM等四种聚类算法，阐述了各自的原理和使用步骤，利用国际通用测试数据集IRIS对这些算法进行了验证和比较。结果显示对该测试类型数据，FCM和k-means都具有较高的准确度，层次聚类准确度最差，而SOM则耗时最长。
关键词:聚类算法；k-means；层次聚类；SOM；FCM

聚类分析是一种重要的人类行为，早在孩提时代，一个人就通过不断改进下意识中的聚类模式来学会如何区分猫狗、动物植物。目前在许多领域都得到了广泛的研究和成功的应用，如用于模式识别、数据分析、图像处理、市场研究、客户分割、Web文档分类等[1]。
　聚类就是按照某个特定标准(如距离准则)把一个数据集分割成不同的类或簇，使得同一个簇内的数据对象的相似性尽可能大，同时不在同一个簇中的数据对象的差异性也尽可能地大。即聚类后同一类的数据尽可能聚集到一起，不同数据尽量分离。
　聚类技术[2]正在蓬勃发展，对此有贡献的研究领域包括数据挖掘、统计学、机器学习、空间数据库技术、生物学以及市场营销等。各种聚类方法也被不断提出和改进，而不同的方法适合于不同类型的数据，因此对各种聚类方法、聚类效果的比较成为值得研究的课题。
1 聚类算法的分类
　目前，有大量的聚类算法[3]。而对于具体应用，聚类算法的选择取决于数据的类型、聚类的目的。如果聚类分析被用作描述或探查的工具，可以对同样的数据尝试多种算法，以发现数据可能揭示的结果。
　主要的聚类算法可以划分为如下几类：划分方法、层次方法、基于密度的方法、基于网格的方法以及基于模型的方法[4-6]。
　每一类中都存在着得到广泛应用的算法，例如：划分方法中的k-means[7]聚类算法、层次方法中的凝聚型层次聚类算法[8]、基于模型方法中的神经网络[9]聚类算法等。
　目前,聚类问题的研究不仅仅局限于上述的硬聚类，即每一个数据只能被归为一类，模糊聚类[10]也是聚类分析中研究较为广泛的一个分支。模糊聚类通过隶属函数来确定每个数据隶属于各个簇的程度，而不是将一个数据对象硬性地归类到某一簇中。目前已有很多关于模糊聚类的算法被提出，如著名的FCM算法等。
　本文主要对k-means聚类算法、凝聚型层次聚类算法、神经网络聚类算法之SOM,以及模糊聚类的FCM算法通过通用测试数据集进行聚类效果的比较和分析。
2 四种常用聚类算法研究
2.1 k-means聚类算法
　k-means是划分方法中较经典的聚类算法之一。由于该算法的效率高，所以在对大规模数据进行聚类时被广泛应用。目前，许多算法均围绕着该算法进行扩展和改进。
　k-means算法以k为参数，把n个对象分成k个簇，使簇内具有较高的相似度，而簇间的相似度较低。k-means算法的处理过程如下：首先，随机地选择k个对象，每个对象初始地代表了一个簇的平均值或中心;对剩余的每个对象，根据其与各簇中心的距离，将它赋给最近的簇;然后重新计算每个簇的平均值。这个过程不断重复，直到准则函数收敛。通常，采用平方误差准则，其定义如下：

　这里E是数据库中所有对象的平方误差的总和，p是空间中的点，mi是簇Ci的平均值[9]。该目标函数使生成的簇尽可能紧凑独立，使用的距离度量是欧几里得距离,当然也可以用其他距离度量。k-means聚类算法的算法流程如下：
输入：包含n个对象的数据库和簇的数目k；
输出：k个簇，使平方误差准则最小。
步骤：
　　(1) 任意选择k个对象作为初始的簇中心；
　　(2) repeat；
　　(3) 根据簇中对象的平均值，将每个对象(重新)赋予最类似的簇；
　　(4) 更新簇的平均值，即计算每个簇中对象的平均值；
　　(5) until不再发生变化。
2.2 层次聚类算法
根据层次分解的顺序是自底向上的还是自上向下的，层次聚类算法分为凝聚的层次聚类算法和分裂的层次聚类算法。
　凝聚型层次聚类的策略是先将每个对象作为一个簇，然后合并这些原子簇为越来越大的簇，直到所有对象都在一个簇中，或者某个终结条件被满足。绝大多数层次聚类属于凝聚型层次聚类，它们只是在簇间相似度的定义上有所不同。四种广泛采用的簇间距离度量方法如下：

这里给出采用最小距离的凝聚层次聚类算法流程：
　(1) 将每个对象看作一类，计算两两之间的最小距离；
　(2) 将距离最小的两个类合并成一个新类；
　(3) 重新计算新类与所有类之间的距离；
　(4) 重复(2)、(3)，直到所有类最后合并成一类。
2.3 SOM聚类算法
　SOM神经网络[11]是由芬兰神经网络专家Kohonen教授提出的，该算法假设在输入对象中存在一些拓扑结构或顺序，可以实现从输入空间(n维)到输出平面(2维)的降维映射，其映射具有拓扑特征保持性质,与实际的大脑处理有很强的理论联系。
　SOM网络包含输入层和输出层。输入层对应一个高维的输入向量，输出层由一系列组织在2维网格上的有序节点构成，输入节点与输出节点通过权重向量连接。学习过程中，找到与之距离最短的输出层单元，即获胜单元，对其更新。同时，将邻近区域的权值更新，使输出节点保持输入向量的拓扑特征。
　算法流程：
　(1) 网络初始化，对输出层每个节点权重赋初值；
　(2) 将输入样本中随机选取输入向量，找到与输入向量距离最小的权重向量；
　(3) 定义获胜单元，在获胜单元的邻近区域调整权重使其向输入向量靠拢；
　(4) 提供新样本、进行训练；
　(5) 收缩邻域半径、减小学习率、重复，直到小于允许值，输出聚类结果。
2.4 FCM聚类算法
　1965年美国加州大学柏克莱分校的扎德教授第一次提出了‘集合’的概念。经过十多年的发展，模糊集合理论渐渐被应用到各个实际应用方面。为克服非此即彼的分类缺点，出现了以模糊集合论为数学基础的聚类分析。用模糊数学的方法进行聚类分析，就是模糊聚类分析[12]。
　　FCM算法是一种以隶属度来确定每个数据点属于某个聚类程度的算法。该聚类算法是传统硬聚类算法的一种改进。

算法流程：
　(1) 标准化数据矩阵；
　(2) 建立模糊相似矩阵，初始化隶属矩阵；
　(3) 算法开始迭代，直到目标函数收敛到极小值；
　(4) 根据迭代结果，由最后的隶属矩阵确定数据所属的类，显示最后的聚类结果。
3 四种聚类算法试验
3.1 试验数据
　实验中，选取专门用于测试分类、聚类算法的国际通用的UCI数据库中的IRIS[13]数据集，IRIS数据集包含150个样本数据，分别取自三种不同的莺尾属植物setosa、versicolor和virginica的花朵样本,每个数据含有4个属性，即萼片长度、萼片宽度、花瓣长度，单位为cm。在数据集上执行不同的聚类算法，可以得到不同精度的聚类结果。
3.2 试验结果说明
　文中基于前面所述各算法原理及算法流程，用matlab进行编程运算，得到表1所示聚类结果。

　如表1所示，对于四种聚类算法，按三方面进行比较：(1)聚错样本数：总的聚错的样本数，即各类中聚错的样本数的和；(2)运行时间：即聚类整个过程所耗费的时间，单位为s；(3)平均准确度：设原数据集有k个类,用ci表示第i类，ni为ci中样本的个数，mi为聚类正确的个数,则mi/ni为第i类中的精度，则平均精度为：

3.3 试验结果分析
四种聚类算法中，在运行时间及准确度方面综合考虑，k-means和FCM相对优于其他。但是，各个算法还是存在固定缺点：k-means聚类算法的初始点选择不稳定，是随机选取的，这就引起聚类结果的不稳定，本实验中虽是经过多次实验取的平均值，但是具体初始点的选择方法还需进一步研究；层次聚类虽然不需要确定分类数，但是一旦一个分裂或者合并被执行，就不能修正，聚类质量受限制；FCM对初始聚类中心敏感，需要人为确定聚类数，容易陷入局部最优解；SOM与实际大脑处理有很强的理论联系。但是处理时间较长，需要进一步研究使其适应大型数据库。
聚类分析因其在许多领域的成功应用而展现出诱人的应用前景，除经典聚类算法外，各种新的聚类方法正被不断被提出。
参考文献
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