一种基于QR分解的观测矩阵优化方法-AET-电子技术应用

一种基于QR分解的观测矩阵优化方法

2021年电子技术应用第4期

周琦宾1，吴静1，2，余波1

1.西南科技大学信息工程学院，四川绵阳621000； 2.西南科技大学特殊环境机器人技术四川省重点实验室，四川绵阳621000

摘要：在压缩感知理论中，最为关键的问题是观测矩阵的构造。影响图像重建质量的因素包括观测矩阵列向量间的独立性以及观测矩阵与稀疏基间的互相关性。基于此提出了一种优化算法。该算法采用QR分解以增大观测矩阵列独立性，同时对利用等角紧框架(Equiangular Tight Frame，ETF)收缩的Gram矩阵进行优化，通过更新每次梯度下降的方向，加快收敛速度，从而减小观测矩阵与稀疏基间的互相关性。仿真实验结果显示，在信号稀疏度或观测次数相同情况下，该优化观测矩阵的方法在提高图像重建质量与稳定性方面都有一定优势。

关键词： 压缩感知观测矩阵 QR分解 Gram矩阵互相关性

中图分类号：TN912.3；TP301.6
文献标识码：A
DOI：10.16157/j.issn.0258-7998.200413
中文引用格式：周琦宾，吴静，余波. 一种基于QR分解的观测矩阵优化方法[J].电子技术应用，2021，47(4)：107-111.
英文引用格式：Zhou Qibin，Wu Jing，Yu Bo. An optimization method of observation matrix based on QR decomposition[J]. Application of Electronic Technique，2021，47(4)：107-111.

An optimization method of observation matrix based on QR decomposition

Zhou Qibin1，Wu Jing1，2，Yu Bo1

1.School of Information Engineering，Southwest University of Science and Technology，Mianyang 621000，China； 2.Sichuan Key Laboratory of Special Environmental Robotics，Southwest University of Science and Technology，Mianyang 621000，China

Abstract：In compressed sensing theory, the most critical issue is the construction of the observation matrix. The factors that affect the image reconstruction quality include the independence between the observation matrix column vectors and the cross-correlation between the observation matrix and the sparse basis. Based on this, an optimization algorithm is proposed. The algorithm uses QR decomposition to increase the independence of the observation matrix columns, and at the same time optimizes the Gram matrix contracted using an equiangular tight frame(ETF). By updating the direction of each gradient descent, the convergence rate is accelerated to reduce The cross-correlation between the small observation matrix and the sparse basis. Simulation experiment results show that the method of optimizing the observation matrix in this paper has certain advantages in improving the quality and stability of image reconstruction under the same signal sparsity or observation times.

Key words :compressed sensing；observation matrix；QR decomposition；Gram matrix；cross-correlation

0 引言

压缩感知理论(Compressed Sensing，CS)是一种有别于传统Shannon-Nyquist采样定理的信号欠采样理论。该理论指出，对于稀疏或可压缩信号，可以通过线性投影的方式将大部分信号的信息投射在低维空间，然后利用非线性解码的算法将信号恢复到原始状态。

CS方法被广泛应用于无线通信、模式识别和雷达成像等领域。观测矩阵的设计是CS方法的关键研究内容之一，构造性能良好的观测矩阵对于信号的压缩观测以及重构都起到了至关重要的作用^[1]。现有的文献对观测矩阵的约束条件展开了一系列的探究，文献[2]中阐述了限制性等距原则(Restricted Isometry Property，RIP)；文献[3]提出利用零空间性质作为观测矩阵的约束条件，但由于观测矩阵是否具备约束条件难以准确判断，往往需要涉及组合复杂度的相关问题，因此该方法的实际应用具有一定难度。

文献[4]中为有效测量观测矩阵性能，将矩阵和稀疏基间的互相关性当做衡量标准，相关性越低，信号适应的稀疏度范围越大，精确重建信号所需观测值的数目越少；文献[5]主要以Gram矩阵为基础伪逆求解观测矩阵，该研究采用了阈值函数，其中的收缩因子能够根据需要进行调节，但是这种方法比较耗时，在收缩过程中可能会产生绝对值较大的相关系数；文献[6]中ABOLGHASEMI V首次提出利用梯度下降法使得Gram矩阵逼近单位阵，但是该算法收敛速度较慢并且可能陷入局部最优；文献[7]提出使用矩阵特征值分解对观测矩阵进行优化，将特征值分解后的Gram矩阵的特征值取平均值，然后间接优化Gram矩阵的非对角线元素，该方法在一定程度上能够降低矩阵的整体互相干性，但是在使用某些恢复算法(如SP算法)的情况下，可能无法重建原始信号，在适用范围上有一定的局限性。

文献[8]的研究表明，重构算法要想准确地实现恢复信号的目的，必须满足的条件是使观测矩阵列向量具备一定的线性独立性，而且越强的独立性能够保证重建信号具有越高的质量。

通过梳理相关研究理论，本研究借助于QR分解的方式提高观测矩阵列向量的独立性，并将QR分解与自适应梯度下降观测矩阵优化算法相结合，提出了一种Gram矩阵优化算法，并在实验上对该方法的可行性进行验证。

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作者信息:

周琦宾1，吴静1，2，余波1

(1.西南科技大学信息工程学院，四川绵阳621000；

2.西南科技大学特殊环境机器人技术四川省重点实验室，四川绵阳621000)

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