0 引言

小波变换具有良好的多分辨率和时频局域化的特点, 因而成为分析非平稳信号和瞬变信号强有力的数学工具^[1-2]。工程中的绝大多数信号均为瞬变、非平稳信号，由于傅里叶变换不能提供信号的时频域局域化分析，人们提出用短时窗分析信号的短时傅里叶变换。但因分辨率单一，短时傅里叶变换仅适合分析近似平稳信号或分段平稳信号。为了能有效地分析非平稳信号，从信号中提取特征信息，在时、频两域均有良好局域化分析能力的小波变换应运而生。目前，小波变换在工程领域的应用不断拓展，已被广泛应用于信号检测、信号处理等方面^[3-4]。

小波变换可以用数字和模拟两种方式实现。目前，用数字方式实现小波变换较为广泛，但对模拟信号进行数模转换会造成信号失真，数模转换电路还会增加信号处理电路系统的体积与功耗，数据运算量大难以实现实时数据处理。在很多需要体积小、功耗低及实时处理的场合，例如在需对心电信号进行监测分析的人工心脏起搏器的应用中，数字方式实现小波变换难以满足应用需要。这样人们提出小波变换的模拟硬件电路实现，其具有不需要对信号进行数模转换，处理电路体积小、功耗低、数据实时处理等特点。为了降低制造成本，当前多采用数/模混合电路设计集成电路，因而集成电路的模拟部分要求采用标准数字CMOS工艺制造，符合这一条件的首推开关电流技术。开关电流电路是基于电流模式的取样数据系统，用它处理模拟信号，具有高频特性好、电压低、功耗低、动态范围大等优点^[5-6]。将开关电流技术用于实现小波变换，可以完成高速低功耗集成芯片的设计，满足小波变换实时处理的应用需求。基于此，文章对小波变换实现进行研究，提出采用开关电流电路实现小波变换，可广泛应用于语音分析、图像处理、信号检测、故障诊断等领域。

1 小波变换实现

小波变换模拟实现方法可分为时域法和频域法两大类^[7-9]。根据小波变换定义：具有紧支集的平方可积函数Ψ(t)(Ψ(t)∈L²(R))为小波函数或小波基，信号f(t)是平方可积函数，则其在时域的小波变换定义为：

选用不同小波基对信号进行小波变换分析，其结果有可能相差很大，在工程应用中应根据实际情况对小波基进行选取。小波基选取的好坏以小波变换的信号处理结果与理论值之间的误差来判断，误差越小，选择的小波基越适合用于小波变换。一般来说，应该从有效支撑区间大小、对称性、正则性与被分析信号的相似性等方面考虑小波基的选择^[1]。此外，若要获取信号的相位信息需选用复小波。工程中常用的实小波主要有Daubechies小波，高斯类小波包括高斯一阶导数小波、Marr小波、Morlet小波等，复小波常见的有Gabor小波、复Morlet小波等。

1.1 小波变换的时域实现

根据式(1)所示小波变换的时域表达可见：若能构造一个能生成不同尺度a和位移τ下小波函数的小波函数发生器，其输出与输入信号相乘后积分即可实现信号的连续小波变换。这样，时域法实现连续小波变换的基本单元电路有：小波函数发生器、乘法器和积分器，图１所示为时域法实现连续小波变换的原理图。

由图1可以看出，不同尺度与位移的小波由小波函数发生器产生，乘法器将输入信号与小波函数相乘，运算结果输入积分器进行积分运算后完成信号的小波变换。小波变换采用时域法实现，能在时域直接由电路综合实现，但需要种类繁多的单元电路[7]，如时钟电路、正弦信号发生器、高斯函数发生器、乘法器和积分器等，而且每一个单元电路的性能会对整个小波变换的实现产生较大的影响。因此，虽然时域法实现小波变换的原理较为直观，但其实现过程较复杂、所需单元电路种类较多、结构复杂，导致系统设计难度较大，近年来所取得的研究成果较少，目前更多的研究已转向小波变换的频域法实现。

1.2 小波变换的频域实现

小波变换频域表达式如下：

其中，“*”代表共轭，a为尺度因子，F(ω)、Ψ(ω)分别为信号与小波函数的频域表达。根据式(2)所示频域小波变换表达可见：在频域中，信号的小波变换可等效为在不同尺度a下，具有频率特性为Ψ(aω)且品质因数恒定的带通滤波器对输入信号进行滤波后的输出结果。根据信号处理理论，信号与小波函数的卷积就是信号通过以该函数特性为冲激响应系统的输出。这样，只要构造冲激响应为不同尺度小波函数的滤波器组，则信号通过该滤波器组后的输出就是信号的小波变换。综上所述，小波变换实现转化为构造冲激响应为尺度不同小波函数的滤波器组^[8]，这样可将小波变换从时域变换到频域实现。此外，在构造不同尺度与位移的小波滤波器时，要保证中心频率与频宽(带宽)之比也即品质因数Q与尺度a值无关。图2所示为小波变换的频域法实现原理图。

图2滤波器组中的每路滤波器的冲激响应均为该尺度下的小波函数。小波变换尺度取a=2ⁿ(n∈Z)，这是因为小波变换具有冗余性，工程应用中尺度a不需连续变化，实际应用只需将尺度a离散化即可。小波变换的尺度越多，所需的滤波器数量也越多，这必然会提高小波变换实现电路的复杂程度，从而增大电路体积与功耗，不利于制成低功耗集成芯片。在实际工程应用中，往往在检测信号时只需选择较少个数的尺度来计算小波变换系数即可满足实用要求，这样将减少所需滤波器的数量，降低设计难度。

2 小波变换模拟滤波器设计

由小波变换的频域法实现原理可知，小波变换模拟滤波器实现的关键在于设计冲激响应为小波基的基本小波滤波器，小波滤波器组中其他尺度的小波滤波器可以通过对基本小波滤波器进行尺度调节而获得。以高斯一阶导数小波为例，研究冲激响应为小波函数的滤波器实现。高斯一阶导数小波表达如式(3)所示：

且其拉普拉斯变换为稳定的有理多项式，即：

图3给出了高斯函数一阶导数及其逼近，可以看出以式(6)为传递函数的滤波器冲激响应函数对高斯函数一阶导数的逼近效果良好。

3 开关电流小波滤波器电路实现与仿真

开关电流电路是基于电流模的模拟取样数据信号处理电路，具有高频特性好、功耗低、适于低电压工作、动态范围大等优点，由于是电流模式电路，它不需要运算放大器，从而消除了运算放大器带来的限制和误差；不需要线性浮置电容，从而与标准的CMOS工艺完全兼容，便于电路的大规模集成。开关电流技术自提出以来就备受关注，并得到迅速发展，其主要成果集中在滤波器的设计方面。开关电流滤波器特性取决于元件参数的比值及时钟频率，其带宽随时钟频率变化而变化，与此同时品质因数能保持恒定，非常适合小波滤波器组的实现^[7-9]：当构造出冲激响应为小波基的开关电流基本小波滤波器后(尺度a=1)，在开关电流滤波器允许的时钟频率范围内，调节时钟频率可实现不同尺度的开关电流小波滤波器。这极大地简化了小波滤波器组的设计难度，其设计主要变为对基本小波滤波器的设计。

开关电流基本小波滤波器可采用电路级联实现，该方式具有模块性和简易性等优点。以式(6)为传递函数的高斯一阶导数小波变换滤波器是一个5阶电路，可由1个开关电流一阶节电路和2个二阶节电路级联实现。开关电流一阶节电路、二阶节电路分别如图4、图5所示。

在进行电路仿真前应对式(6)所示的传递函数去归一化。因为从s域到z域之间存在由非线性关系引起的频率翘曲效应，应进行频率预翘处理。若取样频率远大于工作频率，则频率翘曲效应较小，可以不进行频率预翘处理。

电路仿真采用开关电流专用仿真软件ASIZ(Analysis of Switched-current Filters in Z Transform)进行仿真^[10]，ASIZ可对开关电流电路仿真获得瞬态响应、频率响应、零极点和灵敏度。设定电路仿真时钟频率为10 kHz，用ASIZ仿真获得基本尺度(a=2⁰)上的小波，高斯一阶导数基本小波滤波器的冲激响应如图6所示。

为了产生更多尺度上的小波函数，在其他尺度上的开关电流小波滤波器可通过调节开关电流基本小波滤波器的时钟频率获得。如将时钟频率分别设定为20 kHz和40 kHz，即可获得尺度为a=2^-1、a=2^-2的小波滤波器。作为对比，图7所示仿真结果是时钟频率分别为10 kHz、20 kHz和40 kHz，也即在尺度为a=2⁰、a=2^-1和a=2^-2上的小波滤波器的冲激响应，其电路仿真输出波形分别是图7中的曲线①、曲线②和曲线③。

图6和图7所示的电路仿真结果充分证明用开关电流电路实现小波滤波器的效果非常理想，且只需调节开关电流基本小波滤波器的时钟频率，用同一滤波器电路即可实现其他尺度上的小波滤波器，极大地简化了小波滤波器组的设计。

4 结论

本文提出了基于开关电流电路的小波变换模拟实现。根据小波变换的定义，研究了在时域、频域的小波变换实现方法，给出了工程应用中小波基选取的原则，对频域实现小波变换进行小波函数逼近，获得了小波变换模拟滤波器所需的传递函数。采用开关电流电路实现基本小波滤波器，通过调节时钟频率获得小波滤波器组所需的其他尺度的小波滤波器，简化了小波滤波器组的设计与实现。本文提出方法的有效性得到了仿真结果的验证，其对小波变换在工程中的应用发展具有促进作用。

参考文献

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作者信息:

胡沁春1，霍 平2，尤小泉1，张 松1，郭丽芳1，谭化勇1

（1.成都工业学院 网络与通信工程学院，四川 成都611730；2.成都工业学院 电气工程学院，四川 成都611730