0 引言

四旋翼飞行器是多旋翼飞行器中的一种。它有4个转子，被放置在距离飞行器质量中心等距的方形结构中。飞行器通过调整电机转子转速来进行姿态位置控制，正是由于这种简单的结构设计，使其能够垂直升降、悬停及其灵活的机动性，被广泛用于城市交通监控、测绘、搜寻、救援和施工检查等应用中。

四旋翼飞行器由于在飞行过程中有许多不确定因素，具有复杂的空气动力学特性^[1-3]，使学者们在四旋翼飞行器控制方法和控制器的设计等方面做了许多的研究。其中包括反步控制、非线性H_∞控制、LQR控制器等。实验结果表明在大角度时，采用非线性控制方法能够取得良好的控制效果^[4]，反步法设计的控制器在相对高扰动下取得了很好的姿态角控制效果^[5]。

这些控制器在姿态控制等方面虽然有比较好的效果，但由于其控制算法需要建立准确的数学模型，计算量大，数据的实时处理对处理器性能要求特别高，实现起来有一定的困难。为此本文设计了一种易于实现的、能够快速稳定的对四旋翼飞行器实现姿态控制的串级PID控制器。

1 四旋翼飞行器的基本工作原理

四旋翼飞行器是通过改变两对正反螺旋桨的转速来实现对机体的运动控制。如图1所示，在平衡状态下，电机1和3的螺旋桨逆时针旋转，而电机2和4的螺旋桨顺时针旋转，但产生正方向上的升力，这样当飞行器4个螺旋桨有相同的转速时，所产生的反旋转力矩正好可以互相抵消。

四旋翼飞行器是一个四输入、六输出的欠输入控制系统，需要选择4个合适的控制变量：垂直运动推力U₁、横滚(Roll)运动U₂、俯仰(Pitch)运动U₃和偏航(Yaw)运动U₄，对系统进行解耦，从而使飞行器更加容易控制。假设飞行器悬停时4个螺旋桨转速为Ω_H，改变螺旋桨转速变化量Δ_A和Δ_B值相等、符号相反，以至于推力U1不发生变化，从而使飞行器不会爬升或下降，来产生俯仰、横滚和偏航运动。

2 四旋翼飞行器的数学模型

为方便飞行器的建模，定义两个坐标系：惯性坐标系（北东天坐标系）、机体坐标系。其中惯性坐标系在地面，机体坐标系与飞行器固联，如图2所示。

为方便分析建模作两点假设：(1)四旋翼飞行器是刚体，质心和机体坐标系原点重合；(2)机体坐标系的主轴和机体的惯性主轴相重合。

2.1 运动学方程建立

2.2 牛顿欧拉方程建立

由假设(1)，根据牛顿欧拉方程，飞行器动力学方程为：

使用叶素动量理论可以推导出螺旋桨所产生的力和旋转力矩与它的转速平方成正比^[3，6]。

推力和旋转力矩之间的关系由下式描述：

式中，l为电机到飞行器中心距离，k_F为推力系数，k_M为旋转力矩系数。

飞行器位置控制相对于惯性坐标系，姿态控制相对于机体坐标系，定义混合坐标系，包含相对于惯性坐标系的位置信息和相对于机体坐标系的姿态信息[6]，速度角速度矢量如下：

由式(9)知，以U₁、U₂、U₃、U₄为系统输入可以控制机体的位置和姿态6个自由度的运动，从而对系统进行解耦，解决了飞行器欠驱动控制问题。

3 四旋翼飞行器的控制系统构建

由式(3)和式(9)可知，欧拉角及其对时间的微分不依赖位置运动，而位置运动依赖于欧拉角。将系统的运动分为两个子系统：姿态运动M₁(在机体坐标系中)和位置运动M₂(在惯性坐标系)。飞行器内部控制结构如图3所示。

C₁为内回路控制器，C₂为外回路控制器。由图4可知，四旋翼飞行器的控制系统分为内回路和外回路，内回路为姿态控制是外回路位置控制的基础，通过控制飞行器的3个欧拉角，实现对飞行器的姿态控制，进而实现对飞行器位置控制。

4 控制器设计及系统仿真

根据以上分析对系统设计串级PID控制器，内回路为姿态控制，外回路为位置控制。

4.1 线性化数学模型

在实际飞行中俯仰角θ、滚转角φ，角速度矢量ω^B比较小。假设在飞行中偏航角ψ=ψ₀保持不变，其中ψ₀为初始偏航角。在定高或悬停的稳态附近，有：

4.2 内回路：姿态控制回路

在PID控制器中，比例（p）和积分（I）能够提高稳态精度，但积分环节的加入降低了系统稳定性和响应速度，系统很容易发散。微分（D）不但能够提高系统稳定性，而且能够提高系统响应速度。因此，内回路设计PD控制器对飞行器进行姿态控制。

由式(10)设计PD控制器，可得：

结合式(7)、式(11)可得到期望姿态角与期望转速之间的关系。

4.3 外回路：位置控制回路

由图3可知，系统输入为期望位置量，经过外环控制器转换为期望的姿态角，作为内环的输入。

4.4 搭建系统仿真控制回路

如图4所示，系统仿真结构包括：位置控制、姿态控制、电机动力学模型、飞行器动力学模型、IMU和Kalman(传感器建模与滤波器设计，包括陀螺仪、加速度计、磁罗盘、气压计，考虑传感器在测量过程中的噪声与漂移，设计卡尔曼滤波器，输出准确的位置和姿态信息，使仿真更加真实可靠)。仿真参数如表1所示。

4.5 仿真结果

(1)定点悬停

在零初始条件下，输入r^d=(X^d，Y^d，Z^d)=(5，10，15)时，系统位置输出如图5所示。

飞行器在运动中无超调，运行平稳，在8 s左右到达目标位置，最终稳定在X、Y、Z轴位置分别为5.001 5、10.013 6、15.008 6，误差非常小，满足控制要求。

(2)位置跟踪

在零初始条件下，X轴输入为斜坡信号r^d=(X^d，Y^d，Z^d)=(t，10，20)，0≤t≤20 s，系统位置输出如图6所示。

当X轴输入为斜坡信号时，在3 s左右，追踪到了斜坡信号，3 s之后追踪误差非常小，Y轴和Z轴在8 s左右进入稳定状态，飞行器在整个运动中无超调，运行平稳，最终稳定在X、Y、Z轴位置分别为20.001 5、10.020 3、15.006 5，误差非常小，满足控制要求。

5 总结

本文主要研究了基于四轴飞行器的串级PID控制算法。在内回路姿态控制设计PD控制器，外回路位置控制设计PID控制器，仿真结果表明：(1)所设计控制算法能够快速、稳定地对四旋翼飞行器实现姿态位置控制；(2)所设计的控制算法有比较好的轨迹追踪能力；(3)对外界干扰具有比较好的鲁棒性；(4)该控制器易于移植到实验平台上，进一步验证控制算法的正确性。

参考文献

[1] HOFFMANN G M，HUANG H，WASLANDER S L，et al.Quadrotor helicopter flight dynamics and control：Theory and experiment[C].Proceedings of the AIAA Guidance，Navigation and Control Conference and Exhibit，2007.

[2] HUANG H，HOFFMANN G M，WASLANDER S L，et al.Aerodynamicsand control of autonomous quadrotor helicopters in aggressive maneuvering[C].IEEE International Conference on Robotics and Automation，2009：3277-3282.

[3] MAHONY R，KUMAR V，CORKE P.Multirotor arial vehicles，modeling estimation and control of quadrotors[J].IEEE Robot & Automat.Magazine，2012，19(3)：20-32.

[4] CASTILLO P，DZUL A，LOZANO R.Real-time stabilization and tracking of a four-rotor mini rotorcraft[J].Transactions on Control Systems Technology，2004，12(4)：510-5l6.

[5] BOUABDALLAH S，SIEGWART R．Backstepping and sliding-mode techniques applied to an indoor micro quadrotor[C].In Proceedings of the International Conference on Robotics and Automation．Barcelona：IEEE，2005：2247-2252.

[6] BRESCIANI T.Modelling，identification and control of a quadrotor helicopter[D].M.S.thesis，Dept.of Automatic Control，Lund Univ.，Lund，Sweden.2008.

[7] 何勇灵，陈彦民，周岷峰.四旋翼飞行器在风场扰动下的建模与控制[J].中国惯性技术学报，2013，2(5)：624-630．

作者信息:

薛佳乐，程 珩

（太原理工大学 机械工程学院，山西 太原030024）