马亚男，戴尔晗，陈诚

　　（南京邮电大学 自动化学院，江苏 南京 210023）

摘要：在多周期结构分析中，最大重叠离散小波变换得到的信号周期具有明显的局限性。在对比小波方差分析中，提出了用最大重叠离散小波包方差法分析不同尺度小波方差图、功率谱，从而得到信号周期估计的最大值。实验结果表明，对信号或时间序列周期结构的分析是一种有效的方法，该方法可以准确估计多周期信号的小波包方差。

关键词：功率谱；多周期；小波方差；小波包方差

　中图分类号：TP216+.1文献标识码：ADOI： 10.19358/j.issn.1674-7720.2017.03.024

　引用格式：马亚男，戴尔晗，陈诚.多周期信号的小波包方差分析方法［J］.微型机与应用，2017,36（3）：82-84.

0引言

　　高分辨谱估计是信号处理中的一个热点问题。一个信号的周期性结构，在光谱分析中有两种方法：FFT谱估计方法和现代谱估计方法。传统的傅里叶变换方法只适用于平稳信号分析，其分辨率是固定的。当数据长度较短时，分辨率较低，且不能同时对高频信号进行分析。所以，在应用程序中有很大的局限性［1］。近年来，一些研究人员提出了基于小波变换的现代谱估计方法，对频率分辨率和估计精度有了较大的提高［23］。这些方法已逐渐被应用于金融、气象、水印、海洋、机械、医疗和电子信号处理领域［46］。信号周期旋转后，功率谱的周期结构发生变化［78］，因此，离散小波变换不能直接用于信号的周期结构分析。

　　本文将基于MODWT小波方差有效地分析估计信号的频谱，从而分析信号的周期结构。DWT和MODWT有良好的低频频率分辨率,但有较低的高频频率分辨率；自然极大重叠离散小波包变换(MODWPT)被认为具有更好的频率分辨率，高频率可取代MODWT。由于小波系数的突出优势和MODWT的缩放系数满足平移不变性、各分解层保持相同的分辨率和无相位失真，MODWPT非常适合于非平稳信号处理［9］。实验结果表明，使用基于MODWPT的方法来仿真信号的周期性结构具有良好的效果。

1小波方差法

　　1.1小波方差的定义

　　给定一个离散时间信号{Xt}，它可以看作是一个实现{Xt}的X0,X1,X2...XN-1的均值为零的平稳过程，且{Xt}的第d阶向后差分是平稳过程。用{j,l:l=0,1,2...Lj－1}来表示一个系数为第j阶MODWT的小波滤波器，并使得：

　　其中式（1）表示用{j,l}、{Xt}的小波滤波器滤波得到的随机过程。

　　{Xt}基于尺度τj=2j－1的小波方差定义如下：

　　v2(τj)=var{Wj,t}（2）

　1.2小波方差估计

　　为了估计小波方差v2x(τj)，使用宽度为L≥2d的小波滤波器。假设L足够大,则E{Wj,t}= 0。根据这种假设有：

　　v2(τj)=var{Wj,t}=E{(Wj,t－Wj,t)2}=E{W2j,t}（3）

　　所以小波方差的估计可以基于平方过程{W2j,t}，假设序列{xt}的样本大小满足N≥Lj，并且计算出的小波系数为Wj,t，t=0,1,...，N－1。Wj,t，t=0,1,...，N－1，表示vx2(τj)的无偏估计。且小波方差的无偏估计为：

v

　　其中Mj=N－Lj+1，且Lj是第j阶等效小波或缩放滤波器的宽度。

2小波包方差法

　　给定一个离散信号，零均值平稳过程{Xt}的实值部分的序列为X0，X1，...XN-1，{v2j,n}的估计量为：

　　其中，n=0,1,...,2j－1且Lj=(2j－1)(L－1)+1。然而，如果E{xt}是未知的，过滤器{l}的性质为∑ll=0，{v2j,n}合适的估计量是：

　　其中，n=0,1,...，2j－1，{2j,n}是小波方差估计。在低频和高频域中式（5）和式（6）可以估计小波方差。与小波方差相比较，可以得出这样的结论：基于小波包方差的方法可以更准确地进行周期性结构分析。

3基于小波包方差周期结构分析

　　下面有5个正弦周期模拟信号：

　　xt=sin(2×100πt)+sin(2×175πt)+sin(2×200πt)+sin(2×300πt)+sin(2×320πt)（8）

　　频率分别为f1=100 Hz，f2=175 Hz，f3=200 Hz，f4=300 Hz，f5=320 Hz。周期分别为T1=0.01 s，T2=0.005 7 s，T3=0.005 s，T4=0.003 3 s，T5=0.003 1 s。采样周期为0.001 s，采样点的数量是1 000。因此，该信号可以看作是一个离散时间序列。

　　式（8）中,xt是在MODWPT基础上在τ8=28Δt=0.256 s的尺度下由db4小波分解了6层和8层进行小波方差的估计。计算出频率对应于不同尺度的小波包的频率区间。基于MODWPT的小波包方差图如图1(a)和(b)所示。图1(a)表示尺度为0.064 s的小波方差。图1(b)表示尺度为0.256 s的小波方差。

　　从图1可以看到，小波方差图可以分为5大峰，其频率大致为100 Hz、175 Hz、200 Hz、300 Hz和320 Hz。下一个峰值发生在最大峰值处。从图1可以得出结论：分解层数增加，泄漏更严重。

　　通过使用方程（8），可以在其中估计xt的谱密度函数x(f)，结果如图2所示。该图还显示出估计是基于db4小波滤波器和分解水平j=6，j=8。此处x(f)是分段常数。从图2中可以看出，分解尺度越大，分段常数区间越小，显示的频率范围越小，峰值变尖，峰值位置越接近信号的主频。因此，基于小波包方差功率谱估计可以准确估计信号的多周期结构。

　　有一个高频信号如下：

　　xt=sin(2×20 000πt)+sin(2×20 500πt)（9）

　　根据MODWPT采样周期是0.000 01 s和采样点的数量为10 000，信号被分解为10个等级，小波包方差如图3所示，实际尺度为τj=210Δt=0.010 24 s。对应的两大峰值的频率分别为f1≈20 000 Hz,f2≈20 500 Hz。因此，小波包方差的方法可以有效地识别高频信号周期结构。

　　当尺度较大时，观测范围内的时间轴也较大。例如，一个低频信号如下：

　　xt=sin(2×0.4πt)+sin(2×0.5πt)+sin(2×0.6πt)（10）

　　采样周期为0.5 s，采样点的数量是2 000。在MODWPT基础上信号可以分解为5层，其中实际尺度τj=16 s，小波包方差图如图4所示。三大峰对应的频率分别为f1≈0.4 Hz,f2≈0.5 Hz,f3≈0.6 Hz。它表明，小波包方差的方法可以有效地识别低频信号周期结构。

　　基于MODWPT分析信号的小波包的变异时，理论上可以在低频或高频获得高分辨率。但是由于小波变换的特殊性，当尺度因子减小时，小波包的时域波形变小，这相当于频率域的波形变宽，意味着带通滤波器更宽。如果减少了步长因子，小波包方差图不理想，原因是衰减很慢，并伴随着泄漏。

4结论

　　使用基于MODWT或MODWPT时间信号的多尺度分析可以避免初始点和信号长度的影响，而且还可以以不同的频率有效地分解方差的序列。基于MODWT方法仅在低频分析小波方差时有效，所以准确性估计的程度是有限的。信号的低频和高频域可以分别基于MODWPT被分解，因此可以得到比MODWT更高的分辨率。这表明，小波包方差法能更准确地估计多周期结构。此外，也可以在噪声信号的多周期结构分析中使用基于小波包方差的方法。仿真结果表明，通过MODWPT分析小波包方差和功率谱，信号周期的频率可以有效地估计。它提供了一种信号或序列的周期性结构分析的有效方法。

参考文献

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