董智鹏

　　(桂林电子科技大学 机电工程学院，广西 桂林 541004)

摘要：微位移精密定位系统中的压电陶瓷元器件具有非光滑特性，无法直接测得压电元器件的输入输出信号，常规方法难以对其进行有效的辨识和控制。文章采用三明治模型来描绘纳米微位移平台，并提出一种基于最小二乘支持向量机优化的辨识方法解决三明治迟滞模型的辨识问题。最后基于已经辨识的三明治模型，设计一个PID逆补偿控制器，解决定位系统的精密轨迹控制问题。

关键词：三明治系统；迟滞；最小二乘支持向量机；逆补偿前馈控制

中图分类号：TP273.1文献标识码：ADOI： 10.19358/j.issn.1674-7720.2017.03.017

引用格式：董智鹏.MPT系列微位移定位系统的辨识与控制［J］.微型机与应用，2017,36（3）：55-58.

0引言

　　微位移定位平台主要应用于天文射电望远镜。因其具有反应速度快和输出大等特点［13］也适用于工厂自动化中的精确定位。经过柔性铰链装置将微小的位移量进一步放大，从而得到所需要的实际信号输出。为了获得精准、可控的微位移运动轨迹，直接加载在压电器件上的压电信号较大。因此，由控制器产生的弱电控制信号必须经过调制解调、放大等处理。图1描述了PEA的工作过程。迟滞环节的两端可以直接线性化处理；但具有逆压电效应的压电陶瓷是一个非光滑非线性迟滞系统。精密定位系统中的迟滞环节不仅会降低控制精度，更严重的还会使得控制系统发散［2 3］。所以对迟滞三明治系统的辨识一直是个热点。

1含有迟滞三明治系统的描述和分析

　　根据文献［4］对微位移系统的定义，三明治系统是两端线性环节中间夹着一个非线性环节的模型结构，如图2所示。

　　图2中，L1(·)和L2(·)表示线性动态环节，H(·)表示非线性环节；u(k)为输入信号,y(k)为输出信号,ω1(k)为中间环节的输入信号,ω2(k)是中间环节的输出信号。本文采用ARMRAX模型来描述L1(·)和L2(·)，则微位移定位系统可表示为：

　　式中，n1a和n1b、a1i和a2i分别为L1(·)和L2(·)的阶次和权重，q1和q2为纯延时；非线性环节由函数H(·)描述。

2基于LSSVM的三明治系统辨识

　　2.1最小二乘支持向量机

　　与标准的ε支持向量机相比，LSSVM在样本不是很大的情况下具有较好的拟合性。其基本思想也是通过在高维空间构造决策函数y(x)再引进内积变换和相应的核函数。

　　y(x)=sgn［ω(x)+b］（4）

　　对于最小二乘支持向量机，寻优问题为：

　　为求解上述寻优问题，需要构造拉格朗日等式，把约束决策问题变为无约束超平面问题：

　　式中,αi(i=1,2,…，n)是Lagrange权值。

　　根据KuhnTucker条件,得:

　　

　　可以发现最小二乘支持向量机的训练实际上是通过奇异值分解法求解一个线性方程组。

2.2线性环节辨识

　　在三明治系统中，迟滞环节H(·)不仅具有非光滑、次环、多值映射等复杂特性，而且无法测得其信号，现有的辨识方法很难奏效。从图3（a）中可知，迟滞具有复杂的特性。首先设计一个退化激励信号［5］,将迟滞环节限制在单调上升的模态之中，即：

　　ω2(k)=f［ω1(k)］（10）

　　退化后的单模态迟滞环节如图3（b）所示。

　　这样就可以将线性环节辨识出来，在具体编写程序时采用增量斜坡信号代替原始信号。根据文献［6］的关键项分离原则，于是式（1）~式（3）所描述的系统构建了一个具有参数线性化结构的整体模型。

　　这样就可以采用广义梯度算法［7］来辨识两端线性环节。

2.3动态迟滞环节的辨识

　　重新设计一个正弦衰减信号形式如下：

　　式中：φ是相位，γ是幅值偏置；Am和fm是信号的峰值和截止频率，α和β是幅值和信号的退化系数。根据2.2节已经辨识的线性环节将迟滞环节的输入输出信号重构出来，即

　　由文献［8 9］可得“基于最小二乘支持向量机”所构造的微位移模型可以很好地描述迟滞的复杂特性，尤其是参数具有较好的冗余性，可以降低计算机的故障率。从而使得PEA具有更高的运动精度，因此本文采用LSSVM代表迟滞环节。

3基于三明治模型的轨迹控制器设计

　　根据已经辨识的迟滞三明治模型及其逆模型，设计一个带有逆补偿控制器的系统，如图4所示。

　　图4中，r(k)、e(k)、u(k)、y(k)分别为闭环控制信号；ω(k)和v(k)为对象及其逆模型的中间信号。控制器由两部分组成：逆补偿控制器和前向控制器，uf(k)和up(k)分别表示系统中两个子控制器的输出信号，且有：

　　u(k)=uf(k)+up(k)（15）

　　在所设计的控制器中，逆补偿控制器由三明治系统逆模型构成，用于抵消PEA中的迟滞特性。另一方面，当逆模型存在建模误差或者系统受到外界干扰产生误差综上，从性能指标可以看出，本文算法对含有不同程度高斯噪声或者椒盐噪声的岩石颗粒图像的去噪表现良好，优于基于Contourlet的BayesShrink去噪效果。

4实验结果

　　采用江苏汇博公司生产的MPT系列压电陶瓷执行器来验证所提出的辨识和控制方案。额定输入电压和输出位移为10 V和10 μm；控制器由研华公司生产的PCL818LS型组成，使用Turbo C编写控制程序，采用控制频率为33 kHz。

4.1辨识结果

　　(1)线性环节辨识信号采用M序列，幅值mf=3 mV，斜率mA=10>2 mf。这样就可以使迟滞特性限制在单调上升模态內，具体在相关程序中可以采用3阶多项式逼近。接下来采用关键项分离原理［6］来辨识两端线性环节，RGIA的初始值为：P(0)=1.0×106×I(6)，γ(0)=0.001，θ(0)=0.001×J(1,6)。e(k－1)2+e(k)2<ε是判断线性环节收敛的依据，式中ε=10－8，I是单位阵，J是单位行向量。经过608步迭代后收敛，图5是线性模型参数的收敛过程。

　　(2)重新设计一个正弦衰减信号：

　　(3)采用最小二乘支持向量机来辨识迟滞环节的神经网络模型。核函数选取高斯径向基函数，经过32次迭代后神经网络收敛，如图6所示。

整个系统辨识完成后，还需要设计一个正弦调制信号来验证建模的精度。

　　uv(k)=(3.0×e－10×k)×［sin(2π×(300×e－20×k))+1.0］(17)

　　并且在检验信号中随机加入一个幅值为10 V、宽度为0.1 ms的强干扰噪声。对应的模型检验结果如图7所示。实验证明，该建模方法具有良好的动态性能。

4.2轨迹控制结果

　　实验中，控制频率fs=33 kHz，由于过高的电压可能会破坏电路，所以需要对输入信号u(k)进行一定限制，具体限制在［-10,10］之间。依据式(13）、（14)，可以首先将补偿环节上的逆模型－11(·)和－12(·)计算出来，再由相应的迟滞环节辨识结果，利用每次给出的反馈来不断训练对应的迟滞逆模型。最终的前向控制器C(·)被设计为：C(·):Kp=1.120 4;Ki=0.382 0;Kd=0.152 0;被控对象的输入输出如图8所示。

　　为了更好地说明本建模方法的优越性，本文还采用了普通PID控制器进行轨迹的预测控制，在编程过程中进行了一系列的微调，最终的PID控制器参变量为：Kp=1.756，Ki=0.627和Kd=4.234，轨迹跟踪对比如图9所示。

5结论

　　经过一系列的实验论证，所提出的辨识方案与实际轨迹对比具有很小的误差；在此基础上设计的逆补偿控制器不仅精度很高，而且动态效果很好，完全满足了微位移控制的要求。

参考文献

　　［1］ GE P. Modeling and control of hysteresis in piezoceramic actuator ［D］. Kingston: University of Rhode Island, 1996.

　　［2］ HU H.Compensation of hysteresis in piezoceramic actuators and control of nanopositioning system ［D］. Toronto: University of Toronto, 2003.［3］ MAYERGOYZ I D. Mathematical models of hysteresis［M］. New York: SpringerVerlag, 1991.

　　［4］ TAWARE A, TAO G. Control of sandwich nonlinear systems ［M］.New York: Springer, 2003.

　　［5］ 谢扬球,谭永红.压电陶瓷执行器的非光滑三明治模型辨识与内模控制［J］.控制理论与应用，2013,30（5）：567-576.

　　［6］ TAN Y H,DONG R L,LI R Y.Recursive identification of sandwich system with deadzone and application［J］.IEEE Transactions on Control System Technology,2009,17(4):945-951.

　　［7］ 方崇智,萧德云.过程辨识［M］.北京：清华大学出版社,2004.

　　［8］ 阎威武,邵惠鹤.支持向量机和最小二乘支持向量机的比较及应用研究［J］.控制与决策，2003,18（3）：358-360.

　　［9］ 桂卫华，宋海鹰，杨春华.HammersteinWiener模型最小二乘向量机辨识及其应用［J］.控制理论与应用，2008,25（3）：393-397.