张美娟

　　(南京邮电大学 通信与信息工程学院，江苏 南京 210003）

摘要：针对MIMO系统信道的联合稀疏特性，提出一种基于分布式压缩感知(DCS)的MIMO-OFDM系统信道估计方法。分布式压缩感知（DCS）被视为分布式信源编码和压缩感知（CS）的结合，论文详细论证了分布式压缩感知理论在MIMO-OFDM系统中运用的可行性。将该算法与基于压缩感知理论的CoSAMP算法做比较，仿真结果表明，基于DCS算法的信道估计不仅性能更优，而且可以实现更低的时间复杂度。

关键词：分布式压缩感知；MIMO-OFDM；信道估计

0引言

　　多输入多输出（Multiple Input Multiple Output，MIMO）技术在现代通信系统中得到了广泛的应用，MIMO通信系统与OFDM技术相结合，可以有效地提高无线通信系统的频谱利用率和传输链路的可靠性，增大系统容量。在目前常用的MIMOOFDM通信系统中，接收端一般通过相干检测进行信号解调，相比于非相干解调可以获得更大的输出信噪比，因此需要精确地估计出信道的状态信息。

　　MIMOOFDM系统信道在任何一对发送接收天线之间呈现联合稀疏特性，利用这种联合稀疏特性进行信道估计，可以获得更好的信道估计性能。分布式压缩感知（Distributed Compressed Sensing, DCS）理论为上述信道估计方法提供了理论基础。

　　压缩感知理论［1 5］是根据各个信号之间的相关性来实现的。在MIMOOFDM无线通信系统中，各天线传送的信息进行联合编码，根据各子信道间的相关性研究DCS理论。在文献［6］中，BARON D等人首次提出了分布式压缩感知理论的概念，并做了相关的理论研究，之后在文献［7］中证明了译码端需要测量值的上限和下限。在文献［8］中，DUARTE M F等人针对MIMO通信系统、语音信号等应用场景设计了联合稀疏模型，并根据稀疏模型设计了信号的联合译码算法。

　　本文提出将分布式压缩感知［6 8］算法应用于MIMOOFDM系统进行信道估计，在考虑信号之间相关性的情况下可以有效地减少信号的采样数，将该算法与其他重构算法做比较，得出该算法以增加部分算法复杂度换取了较优的信道估计性能。

1MIMO理论与分布式压缩感知

　　1.1MIMO技术原理

　　假设一个MIMOOFDM系统的发送端天线数为nt，接收端的接收天线数量为nr，在第n根发送天线上传送的OFDM符号可以表示为：其中，XLn表示在第n根发送天线上传送的第L个子载波的数据信息。在接收端，第m个接收天线接收到的第L个子载波的数据信息可以表示为：

　　其中，Hkn,m表示从发送端第n个天线到接收端第m个接收天线之间的信道的衰落因子，Wkm表示第k个子载波上的信道高斯白噪声，矩阵形式可以表示为：

　　其中，表示nt维的信号发送向量，表示nr维的信号接收向量，…,Wknr表示nr维的信道高斯白噪声，Hk表示信道的空间变换矩阵。

1.2分布式压缩感知

　　分布式压缩感知理论主要依赖于信号间的联合稀疏。BARON D等人［68］的研究提出了3种有效的联合稀疏模型（Joint Sparse Model, JSM）,分别是根据一些可能的使用场景提出来的。

　　（1）第一联合稀疏模型（JSM1）

　　在JSM1模型中，信号集中的每一个信号都是由通用部分加上特征部分两部分所组成。信号的通用部分表示信号集中信号的相似部分，特征部分表示每个信号所特有的部分。假设信号集中信号的通用部分和特征部分在某一个稀疏域上都具有稀疏特性。则可以表示为：

　　其中，Zc=ψΘc，Θc0=Kc，Zj=ΨΘj，Θj0=Kj，J表示信号集中信号的个数。

　　对于信号集中的信号Xj而言是由两部分组成，Zc是稀疏信号的通用部分，稀疏信号Zc在稀疏基Ψ上的稀疏度为Kc；Zj表示稀疏信号的特征部分，稀疏信号Zj在稀疏基Ψ上的稀疏度为Kj。此外，用参数Ic表示系数矩阵Θc的指标集合，即系数矩阵Θc中所有非零元素的具体位置；参数Ij表示的是系数矩阵Θj的指标集合。

　　（2）第二联合稀疏模型（JSM2）

　　JSM2模型的典型应用场景便是MIMOOFDM系统。在JSM2模型中，信号集中的所有信号在某一个稀疏基上都具有稀疏特性，而且所有信号经过这个稀疏基变换后，所有非零元素的所在位置均相同，只是元素在该位置的幅度有所差异。JSM2模型信号集中的所有信号的稀疏基相同而系数矩阵不同，表示如下：

　　其中，Θj0=K，而且{Θj}(j∈{1,2,…，J})具有相同的稀疏基Ψ。信号集中所有信号的非零元素标号一样，原信号Xj的稀疏度均为K。

　　（3）第三联合稀疏模型（JSM3）

　　JSM3的典型应用场景是带噪声的MIMOOFDM通信系统。在JSM3模型中，首先对非稀疏的通用部分信号进行观测重构，获得通用部分的信息，然后用整个接收信号减去估计出来的通用部分，将剩下的稀疏特征部分进行压缩感知重构。实际上JSM3模型可以看作是对JSM1模型的一个扩展，JSM3模型可以表示为：

　　其中Zc=ΨΘc，Zj=ΨΘj，Θj0=Kj，而且Zc是非稀疏的。在JSM3模型中，由于信号的通用部分不具有稀疏性，因此不可以对信号的通用部分和特征部分分别进行独立重构，只能进行信号的联合重构。

2MIMOOFDM系统模型

　　在MIMOOFDM通信系统中，假设有nt个发送天线和nr个接收天线，OFDM调制的子载波数为N，用g(n,m)表示第m个发送天线和第n个接收天线之间的信道冲击响应（Channel Impulse Response, CIR）, 则在第m个发送天线和第n个接收天线所传送信号的第k个子载波上的信道频率响应（Channel Frequency Response, CFR）可以表示如下：

　　对于某一确定的t时刻，接收端接收到的Nnr维接收信号可以表示为：

　　其中，X=(X1,X2,…，Xnt)是一个Nnrt×Nntnr维的对角阵，X可以表示为：

　　在式(8)中，xkm=［xkm(1),xkm(2)，…，xkm(t)］表示为第m个发送天线在时刻t传输的信号在第k个子载波上的信息。F是一个Nnrnt×Lntnr维的对角阵，可以表示为：

　　其中，P表示N×L的离散傅里叶变换矩阵。h表示Lntnr×1的信道冲击响应矩阵，具体表示为：

　　其中，h(n,m)表示第m个发送天线到第n个接收天线之间的L×1信道冲击响应矩阵。式(7)中的w表示Nnrt×1的加性高斯白噪声，可以通过向量表示为w=(w1,w2,…,wnr),其中wn=［w1n(1),w1n(2),…,w1n(t),…,wNn(1),wNn(2)，…，wNn(t)］T是一个Nt×1的高斯白噪声矩阵，wkn(t)表示在t时刻，第n个接收天线接收到信号的第k个子载波上的噪声信号，噪声信号的均值为0，方差为σ2w。

　　根据压缩感知理论，Nnr×Lntnr维的测量矩阵Z根据下式计算：

　　接收到的测量矩阵y则表示为：

3MIMOOFDM系统信道估计

　　3.1基于CoSAMP算法的信道估计方法

　　压缩采样匹配追踪（Compressive Sampling Matching Pursuit ,CoSAMP）算法也是一种贪婪迭代算法。对于稀疏度较高的信号，CoSAMP有更好的重构性能。CoSAMP算法有效地结合了贪婪迭代算法的高效性和凸优化算法的稳定性。

　　CoSAMP算法实现的基本思想是：当信号的稀疏度K已知时，计算重构出来的信号和信号残差之间的相关性，选取其中相关性最大的2K个元素，将这2K个元素的索引值及其所对应的原子加入到信号原子的候选集中，然后从该候选集中删除部分原子使其剩余的原子数等于信号的稀疏度K。当迭代的次数等于信号的稀疏度，或者信号残差小于预设置的阈值时，迭代停止。

　　CoSAMP算法的具体实现步骤如下：

　　输入：观测矩阵Φ，测量矩阵y，信号稀疏度K；

　　输出：x的K稀疏逼近；

　　初始化：迭代次数k=1，残差r=y，索引集S=,J=，原子候选集Ω=；

　　(1)计算恢复信号和残差间的相关系数u=|〈y，rk-1〉|，选出其中最大的2K个列向量并将其标号计入J中；

　　（2）将第（1）步中的列向量合并到索引集中Sk=Sk-1∪J；

　　(3)将索引集中的原子删除部分留下K个原子加入到候选集Ωk中；

　　(4)根据LS准则计算k；

　　(5)更新残差：r=y-Φk，k=k+1；

　　(6)检查残差值和k的值，若满足迭代停止条件，则停止迭代；否则，返回第(1)步继续计算；

　　(7)重构出x的K稀疏逼近。

3.2基于DCS算法的信道估计方法

　　DCS算法的具体实现步骤表示如下：

　　输入：测量矩阵Φm，观测向量ynm；

　　输出：hnm的近似估计nm；

　　初始化：初始值nm=0，残差rnm=ynm，迭代次数k=0，稀疏索引j=0，原子候选集Ω=；

　　(1)增加迭代次数：k=k+1，增加稀疏指数：j=j+1；

　　(2)计算信道估计差值：enm=Φ+mrnm；

　　(3)合并信道估计残差：e=∑ntm=1∑nrn=1(enm·enm)；

　　(4)更新原子支撑集：Ωk=sup{e,2j}，Tnm=Ωk∪sup{nm,j-1}；

　　(5)计算信道估计值：bnm|Tnm=Φ+m|Tnm·y+nm，bnm|TCnm=0；

　　(6)计算信道相关性：Λ=sup(b,j)；

　　(7)更新信道估计结果：nm|Λ=bnm|Λ，nm|Λc=0；

　　(8)更新残差：rnm=ynm-ΦMnm；

　　(9)检查残差值rnm，若满足迭代停止条件，则停止算法的迭代；否则，返回第(1)步继续迭代计算。

4仿真与性能分析

　　仿真参数设定如下：发送天线数nt=2，子载波数N=16，32，64，128，接收天线数nr=2，车载CIR长度L=78，子载波调制方式为BPSK，信道类型为瑞利衰落信道，信道稀疏度s=8，抽样频率为30.72 MHz。

　　仿真结果通过归一化均方误差（Mean Square Error，MSE）这一参数衡量各不同算法的性能。MSE定义为：

　　第一组仿真结果分析了在N=16和L=312时，车载移动信道环境下的2×2 MIMOOFDM系统MSE性能。对接收信号观测的时间间隔为t=20 μs。仿真结果如图1所示。可以看出，DCS算法和CoSAMP算法的性能相差无几，但是，DCS算法的收敛迭代次数T=8，而CoSAMP算法的收敛迭代次数L=312。因此，DCS算法相对于CoSAMP算法可以通过很少的迭代来实现同样的性能，DCS算法实现的复杂度更低，节省算法的计算时间。

　　第二组和第三组仿真比较了当L=312，N的值分别为32和64时的MSE性能。对接收信号观测的时间间隔为t=20 μs。从图2、3仿真结果可以看出，DCS算法相对于CoSAMP算法自始至终保持了一定的性能优势。虽然DCS算法和CoSAMP算法在增加信噪比时，系统性能相对于传统信道估计算法都有着明显的提升，但是DCS算法相对于CoSAMP算法其性能优势更为明显，自始至终DCS算法都对CoSAMP算法保持着5 dB的性能优势。

　　第四组仿真结果比较了当L=312时，在不同子载波数情况下的MSE性能。设接收信号观测的时间间隔为t=20 μs。仿真结果如图4。可以看出，MSE性能随着子载波数的增加而增加。这是因为N值越高意味着可以得到更多的测量结果来估计信道冲击响应的长度L。当子载波数N达到256时，DCS算法甚至可以用来估计信道长度L高达312的信道冲击响应。

　　仿真结果和上述的分析表明，DCS算法相对于一般的CS算法（比如CoSAMP算法）有更好的信道估计性能。仿真环境为车载MIMOOFDM系统的无线移动信道，DCS算法和CoSAMP算法在子载波数小于信道冲击响应的长度的情况下，DCS算法的性能更好，复杂度更低。此外，DCS算法不需要以信道的稀疏度作为先验条件，更为符合实际工程应用。

参考文献

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