朱艳平

　　（信阳农林学院 信息工程学院，河南 信阳 464000）

　摘要：混沌系统在图像和视频加密方面的应用研究日益增多。为了筛选出更适合应用于信息加密的混沌系统，对一维Logistic系统、四维广义Henon系统、三维Lorenz系统、三维Rossler系统、四维Chen系统和四维CNN系统的混沌动力学行为特性进行比较，并提出密钥变化率的计算方法，以此为指标来衡量各混沌系统的密钥敏感性。仿真实验结果表明，CNN系统表现出更为优越的混沌动力学行为特性，更适合应用于信息加密系统中。

　关键词：混沌系统；性能比较；自相关性；互相关性；密钥变化率

0引言

　　在网络带给人们便利的同时，人们越来越重视信息的安全性。随着图像、语音和视频应用范围的不断扩大，传统的加密方法已不能满足信息加密的需求，于是混沌加密逐渐成为研究的热点［1］。

　　混沌系统由于其遍历性、内随机性、分形结构、对初始值的敏感性、轨道不稳定性以及长期不可预测性等特点，使其更适合应用于加密系统中［24］。目前应用于信息加密的混沌系统有很多，本文从混沌吸引子、混沌信号、自相关性、互相关性、密钥敏感性和密钥空间六个方面对各种混沌系统的动力学行为特性进行比较，从而筛选出更适合应用于信息加密的混沌系统。

1各混沌系统数学模型

　　Logistic 系统的方程如式(1)所示［5］，当3.569 946…≤u≤4时，该系统处于混沌状态，这里取u=3.9。

　　xn+1=uxn(1－xn)x0∈(0,1)u∈(0,4］(1)

　　四维广义Henon混沌映射的数学模型如式(2)所示［1］，其中a=1.76，b=0.1时，该系统处于超混沌状态。

　　x1(k+1)=a－x3(k)2－bx4(k)

　　x2(k+1)=x1(k)

　　x3(k+1)=x2(k)

　　x4(k+1)=x3(k)(2)

　　Lorenz混沌系统的微分方程如式(3)所示［6］，当σ=10，ρ=28，β=8/3时，该系统进入混沌状态。

　　=－σx+σy

　　=ρx－y－xz

　　=－βz+xy(3)

　　Rossler系统的微分方程如式(4)所示［2］，当a=b=0.2，c在4.2与9之间时，该系统处于混沌状态，这里取c=5。

　　=－y－z

　　=x+ay

　　=b+z(x－c)(4)

　　四维超混沌Chen系统的数学模型如式(5)所示 ［7］ ，当a=35，b=7，c=12，d=3，0.085≤γ≤0.789时，该系统为超混沌系统，这里γ的取值为0.5。

　　1=a(x2－x1)+x4

　　2=bx1－x1x3+cx4

　　3=x1x2－dx3

　　4=x2x3+γx4(5)

　　选择合适的模板参数，四维CNN超混沌系统的数学模型如式(6)所示［8］：

　　1=－x3－x4

　　2=2x2+x3

　　3=12x1－13x2

　　4=96x1－90x4+198f(x4)(6)

2各混沌系统动力学行为特性比较

　　2.1混沌吸引子

　　上述六种系统均可产生混沌吸引子，均为混沌系统，其中四维Henon系统、四维Chen系统和四维CNN系统为超混沌系统，此处不再赘述。

　2.2混沌信号

　　以混沌信号x1为例，各系统所产生的混沌信号如图1所示，其中Logistic系统的混沌信号如图1(a)所示， Henon系统的混沌信号如图1(b)所示，Lorenz系统的混沌信号如图1(c)所示，Rossler系统的混沌信号如图1(d)所示，Chen系统的混沌信号如图1(e)所示，CNN系统的混沌信号如图1(f)所示。

　　图1各系统所产生的混沌信号从图1可以看出，Logistic系统和Henon系统所产生的混沌信号呈现匀均分布的态势，而Lorenz系统、Rossler系统、Chen系统和CNN系统所产生的混沌信号随机特性不强，呈现局部现行化特点，容易受AR 模型预测和相空间重构法的攻击。为了解决该问题，参考文献［9］采用公式（7）对混沌信号进行处理，使其变成均匀分布。其中si为原始的混沌信号，s*i为处理后的混沌信号，round表示四舍五入取整操作。

　　s*i=si×102－round(si×102)(7)

　2.3自相关性

　　以信号x1为例进行仿真研究，实验结果表明：Logistic系统x1的自相关性在0.33~0.37的范围内趋近于0；Henon系统在0~0.4的范围内趋近于0；Lorenz系统在-20~40的范围内趋近于0；Rossler系统在-14~14的范围内趋近于0；Chen系统在-20~20的范围内趋近于0；CNN系统在-0.75~0.9的范围内趋近于0。故各混沌系统的自相关性从优到劣的顺利为：Logistic系统、Henon系统、CNN系统、Rossler系统、Chen系统和Lorenz系统。

　2.4互相关性

　　以信号x1和x2为例进行仿真研究，实验结果表明：由于Logistic系统只有一路混沌信号，故无法对混沌信号的互相关性进行分析。Henon系统x1和x2的互相关性在0~0.4的范围内趋近于0；Lorenz系统在-20~40的范围内趋近于0；Rossler系统在-14~14的范围内趋近于0；Chen系统在-20~20的范围内趋近于0；CNN系统在-0.5~0.5的范围内趋近于0。故各混沌系统的互相关性从优到劣的顺序为： Henon系统、CNN系统、Rossler系统、Chen系统和Lorenz系统。

2.5密钥敏感性

　　密钥敏感性分为初始值密钥敏感性和模板参数密钥敏感性。以密钥变化率KCR(Key Change Rate)为指标对各混沌系统的密钥敏感性进行分析，按下式计算密钥的变化率：

　　KCR=∑ki=1Dif(key(i),key′(i))k

　　Dif(key(i),key′(i))=0key(i)=key′(i)

　　1key(i)≠key′(i)(8)

　　上式中的key(i)表示原密钥所生成的第i个混沌序列值，key′(i)表示将原密钥作微小的改变后所生成的第i个混沌序列值，k表示所生成的混沌序列值的个数。KCR的值越大，表示该系统的密钥敏感性越强，反之越弱。将各混沌系统的各个初始值密钥作微小的改变，使其相差10-16，取24 000*n个混沌值进行计算，所得的密钥变化率如表1所示，其中n为混沌系统的维数。

　　从表1可以看出，各混沌系统的初始值密钥敏感性从优到劣的顺序为：Chen系统、CNN系统、Lorenz系统、Rossler系统、Logistic系统和Henon系统。模板参数密钥敏感性分析与此类似，此处不再赘述。

　　2.6密钥空间

　　若计算机浮点数的实现精度为16位有效数字，则各混沌系统的密钥空间如下：一维Logistic系统为1032，四维Henon系统为1096，三维Lorenz系统为1096，三维Rossler系统为1096，四维Chen系统为10144，四维CNN系统为10640。从以上数据可知，四维CNN系统的密钥空间最大，一维Logistic系统的密钥空间最小。

3结论

　　本文从混沌吸引子、混沌信号、自相关性、互相关性、密钥敏感性和密钥空间六个方面对各混沌系统的动力学行为特性进行比较。从仿真实验结果可知，CNN系统具有密钥空间最大、密钥敏感性强、自相关性和互相关性较好的优点，缺点是混沌信号不能呈现均匀分布，但可采用参考文献［9］的方法进行处理，以弥补其不足。综合分析，CNN超混沌系统表现出良好的混沌动力学行为特征，更适合应用于混沌加密系统中。

参考文献

　　［1］ 赵国敏, 李国东. 基于广义Henon映射以及CNN超混沌系统图像加密方案［J］. 信阳师范学院学报（自然科学版）, 2015,28(1): 141145.

　　［2］ 徐健楠. 基于混沌系统的图像加密研究与实现［D］. 锦州: 辽宁工业大学, 2014.

　　［3］ 陈仕坤, 禹思敏. 视频混沌加密及其FPGA实现［J］. 电子技术应用, 2015,41(1): 111114.

　　［4］ 刘新杰, 李黎明. 基于FTP的图像混沌加密传输技术的实现［J］. 微型机与应用, 2014,33(4): 4749.

　　［5］ BORUJENI S E, EHSANI M S. Modified logistic maps for cryptographic application［J］. Applied Mathematics, 2015,6(5): 773782.

　　［6］ PCHELINTSEV A. N. Numerical and physical modeling of the dynamics of the Lorenz system［J］. Numerical Analysis and Applications, 2014,7(2): 159167.

　　［7］ 李晓飞. 四维Chen 系统耦合改进的S盒的图像加密算法［J］. 沈阳工程学院学报(自然科学版), 2014,10(1): 7882,85.