李常春1，陈 彬1，黄银华2，卢 欣1， 李 磊1

　　（1.国网天津市电力公司电力科学研究院，天津 300000;2.福建省电力设计院， 福建 福州 350003）

　摘 要： 介绍了新型电力系统仿真软件InterPSS和三种潮流计算方法的基本原理，基于InterPSS软件建立了IEEE-30节点系统仿真模型并进行三种方法的潮流仿真计算，比较了同一收敛精度水平下三种潮流计算方法的收敛性，并对高斯-塞得尔法中加速因子的作用机理进行了分析。最后展望了InterPSS在电力系统仿真中的应用前景。

关键词： InterPSS；潮流计算；收敛性；电力系统仿真；加速因子

0 引言

　　随着计算机技术和网络技术在电力系统中的应用越来越广泛，现在已经有越来越多的电力系统运行控制调度、电力系统设计、仿真等工作都由计算机来完成。由此产生的众多电力系统运行、仿真软件也在电力系统中得到广泛应用，比较常用的有PSASP、BPA、EMTP、PSCAD/EMTDC、NETOMAC等。但是这些仿真软件都或多或少地存在不利于维护、难以扩展和不易与其它系统兼容等问题。InterPSS基于Internet和面向对象的技术，使用灵活，扩展方便，有效克服了上述弊端。本文通过InterPSS软件建立了IEEE-30电力系统的模型，进行了三种潮流计算的仿真和比较，在不同加速因子下进行了高斯-塞得尔迭代方法潮流仿真计算，分析了加速因子对潮流计算收敛性的影响。

1 典型潮流计算方法概述

　　利用电子计算机进行电力系统潮流计算从上个世纪50年代中期就已开始。在过去的几十年里，采用了各种不同的计算方法。各种计算方法都必须综合考虑以下因素[1]：（1）计算方法的可靠性或收敛性；（2）对计算机内存的要求；（3）计算速度；（4）计算的方便性和灵活性。

　　电力系统潮流计算在数学上表现为一组多元非线性方程式的求解问题，其解法都离不开迭代。即在假设某一组状态（母线电压）的情况下求残差（母线注入功率），根据残差再修正状态，直至残差或修正值达到要求为止。高斯-塞得尔法就是一种最基本的非线性方程的迭代算法。

　　1.1 高斯-塞得尔法（GS法）

　　利用高斯-塞得尔法可直接迭代解节点电压方程,将节点电压方程展开，移项可得

　　将上式进一步展开即得高斯-塞得尔法的迭代公式[2]。

　　式中Pi-jQi——给定的各节点注入功率的共轭值，i=1、2、……、n；

　　Ｕ·1 ——给定的平衡节点电压；

　　k——迭代次数。

　　当某一次迭代解得的Ｕ·i（k+1）与（i=2、3、4、……n）前一次迭代解得的Ｕ·i（k）（i=2、3、4、……n）相差小于事先给定的允许误差，即|Ｕ·i（k+1）-Ｕ·i（k）| （i=2、3、4、……n）时，认为迭代已收敛。

　　以上假设没有PV节点，在有PV节点的情况下，由于这些节点的电压要求，其无功受限制，应对上述公式予以修正，在此不再赘述。

　1.2 牛顿-拉夫逊法（NR法）

　　牛顿-拉夫逊法是解非线性方程式的有效方法。这个方法把非线性方程式的求解过程变成反复对相应的线性方程的求解过程，通常称为逐次线性化过程，这是牛顿-拉夫逊法的核心。由于电力系统的庞大和复杂性，在潮流计算中，往往要进行高阶的非线性方程组的求解。概括地讲，潮流计算是由系统各节点给定的复功率求解各节点电压向量的问题。在极坐标情况下节点功率方程式如下[2]。

　　式中, θij=θi-θj为i、j两节点电压的相角差，Pi、Qi分别为节点的有功和无功功率，Vi、Vj为节点电压，Gij、Bij为节点i、j之间电导和电纳。

　　极坐标下的修正方程如下式：

　　通过反复地迭代修正方程，直至功率不平衡量满足以下条件：

　　||ΔP（t）, ΔQ（t）||<ε（5）

　　判定迭代收敛。其中||ΔP（t）, ΔQ（t）||是向量ΔP（t）, ΔQ（t）中最大的分量的绝对值。

　　牛顿-拉夫逊法由于它的收敛性较好且由于修正方程式的稀疏性，节约了大量的计算机内存并减少了运算量，从而有较高的计算速度。所以在上个世纪60年代后期成为了应用最广泛的解决系统潮流的方法。目前仍作为一种主要的潮流计算方法大量使用。相比高斯-塞得尔法，其在收敛性和运算速度上都有很大改进[3]。

　　1.3 P-Q分解法（PQ法）

　　P-Q分解法是极坐标下的牛顿-拉夫逊法的基础上通过改进和简化而来的。它的基本思想是：把节点功率表示为电压向量的极坐标方程式，抓住主要矛盾，以有功功率误差作为修正电压向量角度的依据，以无功功率误差作为修正电压幅值的依据，把有功功率和无功功率迭代分开进行。从而达到快速解耦潮流计算的目的[2]。

　　在牛顿-拉夫逊法的修正方程基础上，考虑大型电网的两个特性：（1）大型电网中，各元件的电抗一般远远大于电阻。从而各节点的电压相位的改变主要影响各元件中的有功功率潮流，也就是影响各节点的注入有功功率；各节点电压的大小改变主要影响各元件中的无功功率潮流也就是影响各节点的注入无功功率。（2）一般线路两端的相角差不会很大（通常不超过）。从而得到简化的功率误差方程式：

　　P-Q法相对于牛顿-拉夫逊法，无论是在计算速度和内存方面都有很大改善。由于迭代时的雅可比矩阵就是导纳矩阵的虚部，因此在迭代过程中不必像牛顿-拉夫逊法那样进行形成雅可比矩阵的计算，这样不仅减少了运算量，而且也大大简化了程序。另外，由于系数矩阵在迭代过程中维持不变，显著提高了迭代速度。由于P-Q法大大提高了潮流计算的速度，不仅可以用于离线计算，还可以用于在线电力系统安全监视，因此P-Q法获得了非常广泛的应用，是目前最流行的潮流计算方法。

2 InterPSS软件简介

　　InterPSS是建立在互联网（Internet）技术基础之上开发的新一代电力系统仿真软件系统。它基于一个面向对象（Object-Oriented）电力系统仿真框架（Framework），采用灵活的、可扩展的软件结构。在该结构中，软件模块可以相互交换和灵活嵌入。InterPSS 包括潮流计算、短路计算、继电保护协调、谐波分析、暂态稳定性计算、动态稳定性小扰动计算、可靠性分析及许多典型电力系统设计、分析和仿真模块。作为一个开放式的电力系统仿真综合集成平台,它使任何按照InterPSS仿真框架接口规范开发的电力系统仿真算法、用户界面和输入输出模块, 都能方便地嵌入InterPSS[4-6]。

3 潮流计算实例仿真与分析

　　3.1 不同潮流计算方法收敛性比较与分析

　　本文利用InterPSS软件的潮流计算仿真功能，在同一收敛精度下，对IEEE-30节点系统进行仿真。IEEE-30系统如图1所示。

　　在收敛精度为0.000 1 p.u.，即允许的最大功率不平衡量为10 kVA时（系统的功率基准为100 MVA），实验测得各种算法的最大迭代次数如表1所示。

　　由表1可知，在相同的条件下，对IEEE-30系统进行潮流计算时，NR法所需的迭代次数最少，PQ法次之，GS法所需的迭代次数最多。表中数据说明：

　　（1）GS法相对于其它两种算法，在收敛性方面确实难以匹敌。这是因为牛顿-拉夫逊法采用梯度法求解，因而具有二阶的收敛速度；而P-Q分解法在迭代过程中由于雅可比矩阵的不变性，而大大提高了迭代的速度从而加快潮流收敛的速度。

　　（2）NR法所需的迭代次数比PQ法少。PQ法所采取的一系列简化假定只影响了修正方程式的结构，也就是说只影响了迭代过程，但并不影响最终结果。因为PQ法和NR法都采用了相同的数学模型，最后计算功率误差和判断收敛条件都严格按照精确公式进行，所以PQ法和NR法一样可以达到很高的精度。由于迭代过程的改变，PQ法的收敛特性也就相应改变。在数学上，像PQ法那样依一个不变的系数矩阵进行非线性方程组的求解迭代，称为“等斜率法”，其迭代过程具有几何级数收敛特性，在对数坐标上表现为一条直线。而NR法则是按照平方收敛的，在对数坐标上表现为一抛物线。

　　在迭代开始时，NR法会收敛较慢，但是随后它的收敛速度非常之快，而PQ法几乎是按同一速度收敛的。我们选择的收敛精度是0.0001 p.u.，在这个精度下PQ法的迭代次数要比NR法多。另外，PQ法的收敛性还受实际电压等级和参数的影响。因为PQ法是建立在cos θij≈1、Gijsinθij<

3.2 GS法加速因子的影响与分析

　　为进一步验证InterPSS在潮流仿真中的正确运用，以下对GS法在不同的加速因子下的潮流计算结果进行比较与分析。在不同的加速因子情况下，GS法对IEEE-30系统进行潮流计算收敛时的相应迭代次数如表2所示。

　　由表2可知，加速因子的使用有利于加快迭代收敛的速度。并且加速因子的选择并不是越大越好或是越小越好。相对于没有采用加速因子的情况而言，采用加速因子可以很明显的改善迭代计算的收敛性，这可在数学上给出证明。给出迭代计算的收敛定理如下[7]：

　　定理　对于方程f（x）=0, 其迭代形式为

　　x=g（x）（7）

　　若迭代函数满足g（x）条件：

　　（i）在区间[a,b]上g′（x）存在,且|g′（x）|≤L（其中L为小于1的正常数）；

　　（ii）对任意x∈[a,b]，都有g（x）∈[a,b]，则：

　　（1） 对任取初始值x0∈[a,b], 迭代公式xk+1=g（xk）产生的迭代序列{xk}都收敛于方程x=g（x）在[a,b]上的唯一实根x*；

　　结论（1）表明，只要选择的迭代函数g（x）在区间[a,b]满足条件（i）,（ii），那么方程在该区间上存在唯一的实根，而且当x0∈[a,b]时，迭代公式xk+1=g（xk）必收敛。结论（2）表明，要使|x*-xk|≤ε，只要|xk+1-xk|≤ε，因此可用前后两次近似根的接近程度，即用|xk+1-xk|的大小来判断xk+1是否满足精度要求。结论（3）表明常数L越小，迭代收敛的速度越快。

　　应用到GS法中，设潮流的基本方程为f（v）=0，其第k次迭代的近似根为vk，则按（7）式有vk+1=g（vk）。将vk+1作为过渡值并记为k+1=g（vk），利用vk和k+1的某种线性组合作为新的近似根vk+1，如vk+1=αk+1+（1-α）vk，其中α的为待定系数，α的确定方法如下。

　　设v*为方程f（v）=0的一个实根, 则v*=g（x*），k+1=g（vk），两式相减得

　　v*-k+1=g（v*）-g（vk）

　　由微分中值定理有

　　v*-k+1=g′（ξ）（v*-vk）,ξ∈（v*-vk）。

　　假设g′（v）在求根区间内变化不大，则可取某定值m来近似代替。由于v=g（v）收敛，因此有|g′（v）|<1，即|m|≈

　　|g′（v）|≤L<1，则由上式可得v*≈m（v*-vk）+k+1从而

　　由此可得待定系数α为，由于|m|<1，当m<0时，vk+1将在k+1和vk的之间，称为内插法；当m>0时，vk+1在k+1和vk的延长线上，即所谓的“外插法”。以下证明采用这种线性组合的方法后可以加速收敛。

　　将（8）式的迭代函数记为Ψ(v)，则

　　由收敛定理知|g′（v）|≤L<1时序列{vk}收敛，且L越小收敛越快，则如果Ψ(v)和g(v)满足|Ψ′(v)|<|g′(v)|，就说明式(9）比式(8）式收敛得快。

　　对Ψ(v)函数求导，可得

　　由于式(8）假设g′（v）在求根区间内变化不大且用m来近似代替，因此g′（v）-m≈0，即Ψ′(v)很小，接近于0。所以有|Ψ′(v)|<|g′（v）|，因此式(8）比式(7）式收敛得快，从而证明了加速因子的确可以加快收敛的速度。

4 结语

　　本文基于InterPSS的潮流仿真功能，通过对IEEE-30系统进行了完整的潮流计算，得出了在相同的精度和最大迭代次数情况下各自的迭代次数。比较了三种潮流计算方法的收敛性，结果显示高斯-塞得尔法的计算速度和收敛性都逊色于牛顿-拉夫逊法和P-Q分解法，并论证了这种现象的原因。此外还从数学上证明了高斯-塞得尔法中加速因子的加速收敛作用。

　　本文仅应用了InterPSS潮流计算模块，由于该仿真软件高度开放，用户可根据需求自行编译计算模块，为电力工作者提供了一个良好的交流和学习的平台，也必将在未来电力系统仿真计算中得到更为广泛和深入的应用。

参考文献

　　[1]王守相，刘玉田.电力系统潮流计算研究现状[J].山东电力技术,1996 (5）:8-12.

　　[2]陈珩.电力系统稳态分析[M].北京:水利水电出版社,1985.

　　[3]李敏,陈金富,段献忠,等.潮流计算收敛性问题研究综述[J].继电器,2006,34(4）:74-79.

　　[4]ZHOU M, Zhou Shizhao. Open-source and Power System Simulation[EB/OL]. www.interpss.org.1-5.

　　[5]ZHOU E Z. Object-oriented Programming, C++ and Power System Simulation.

　　[6]黄秋华，张尧，ZHOU Michael.开放式电力系统仿真软件InterPSS及其扩展[J]. 电力自动化设备，2012,32（10）:138-141,145.

　　[7]邸书灵,刘展威,刘玉宏.关于非线性方程加速迭代的注记[J].工科数学,2002,18(5）:82-86.