摘  要： 基于图像纹理和阴影的信息判断物理光学特性，根据该特性是否一致提出一种检测图像真实性的算法。通过建立线性规划方程限定楔形方向和角度，并运用共轭梯度法去判定正确的纹理信息。纹理限定的光源位置或楔形的交集都可以作为判定图像真实性的依据。结合阴影和纹理的约束条件，使得楔形的参数更加精确。实验结果显示，所建立的算法可以正确显示光源的信息和图像中物体的光学特性，并判断图像是否被篡改。

　　关键词： 纹理；阴影；光学特性；线性规划

0 引言

　　“眼见不一定为实”，照片已经不再作为真实性的依据。在最近几年，图像被伪造和篡改的问题层出不穷，已经严重影响了人们的正常生活和对新闻的信任。

　　基于光学特性的数字图像取证技术可在不依赖任何签名提取或嵌入信息的前提下，对图像内容的真实性进行鉴别[1]。

　　图像篡改通常会破坏自然图像的光照及其产生的纹理和阴影的一致性，并且图像篡改者很难把光照条件和阴影效果调整到很匹配。因此可以根据图像中场景的光源方向、纹理和阴影的物理一致性作为对数字图像鉴别的依据[2]。

　　目前，Hany Farid团队从单光源图片中物体阴影的一致性来分析，建立模型检测图片是否被篡改过。

　　本文针对自然图像，结合朗伯光照模型建立线性规划方程分析并简化模型，运用纹理的信息优化方程的参数提高算法的精确度，从而使得模型得到更广泛的应用。

1 模型介绍

　　1.1 获取楔形

　　根据朗伯光照模型可以估计光源的位置，并根据漫反射在物体表面形成的光学特性，在图像中获得大量的楔形区域。

　　光源的位置位于多个楔形区域的交集部分，楔形的方向是从阴影指向对应物体的部位。根据透视几何学的原理，由于投射的光源的位置不是很精确，这里存在不确定性[3]。

　　对于真实的图像，在无限远的二维平面上一定存在一个估计光源的位置去满足所有投射阴影的线性约束方程。因此，所有约束条件的交集应该定义一个非空的区域。

　　在图1中，通过两条实线定义一个楔形区域，并用一个曲线定义半平面。投影光源的位置应该在这些约束条件形成的交集部分，虚线表示楔形的反方向。

　　1.2 约束条件

　　阴影的约束条件可以通过平面上的线性不等式表示，图1中显示的两条线是通过平面上的法线和点来简单定义的，法线方向指定平面上的一个区域，在这个区域里必然存在一个待解决的参数x，这两个区域是楔形区域向上的部分。图1显示了一条通过其法线和点定义的线，在任何情况下，一个阴影的约束条件都可以通过一对实线（楔形区域投射阴影的约束）或者一条线（半平面附加的阴影约束）来定义。

　　通常情况下半平面的约束条件可以通过未知参数x的单个线性不等式来指定：

　　其中，是这条曲线上任意一点的法线，表示线上任意一点，一个楔形区域是通过用两个法线表示的两个线性约束方程来确定。

　　从光源方向一致的场景可以得到没有误差的线性约束，一个可能的不等式的解存在于这个线性约束中，即可以得到一个含有最小误差的方程的解来满足所有因素和附属阴影的约束方程。

　　当图像生成不一致约束条件时，希望找出哪一个约束条件是与别的有冲突的，因此冲突的约束条件提供了最根本的证据去证实一个图像的真实性，并用来检测哪一部分的图像被篡改。

2 算法分析

　　2.1 楔形区域的参数

　　根据本文提到的模型，楔形区域的选择影响因素在不同的环境和光照下都不相同，首先假设几个特定场景参数。

　　（1）楔形区域的个数。个数的选择在可以分析的范围内，个数越多越能判断图像的真假。

　　（2）纹理的角度。虽然纹理是不规范的，但在理想规则物体上的纹理信息可以决定楔形角度的大小。

　　（3）楔形的方向。不同的方向直接影响判断的结果，本文通过光源的位置和纹理的信息来限定它的方向。

　　2.2 参数选择

　　2.2.1 楔形的个数

　　本文所采集的图片是在相同的环境中完成的，并在采集过程中选择有针对性的特征点，这些明显的特征点能够有助于得到正确有效的楔形。同时，所选的图像清晰易于分析，在4~11个楔形的基础上就能得到稳定的正确率，对于复杂的照片则需要更多的楔形来获得较稳定的数值。

　　从之前采集的图片库中选择104幅比较有代表性的图片并用1~104编号命名。用4~11个楔形对这104幅图像进行处理，加上纹理信息的限制判断图像的真实性，对每个数目的判断结果求出正确的概率。以楔形的数目作为横轴，以正确率作为y轴建立趋势图，如图2所示。

　　从图2中可以看到，当楔形的数目在8~9个时，正确率已经基本稳定在86%，因此选择合适的楔形个数是8~9个。

　　2.2.2 获取纹理信息

　　空间场景中的三维对象在图像中看起来是平面的，失去了三维特性。对一幅被篡改的数字图像进行取证时，无法得知图像中目标物体在拍摄场景中的三维几何形状，因此无法得到目标物体在指定点处的曲面法向量，如果作为判断图像真实性的依据，必须对问题做简化处理。

　　数字图像的二维特性使得取证者看不到图像中目标物体的纹理所在的完整曲面，因此须做进一步简化。对于纹理所在的局部曲面，曲面在边缘点处的法平面与xoy平面的交线即为纹理曲线在该点处的法线矢量。因此，图像中目标物体的纹理曲面部分在边缘点处的三维曲面法线矢量等价于纹理曲线在相应边缘点处的二维法线矢量。

　　根据共轭梯度法，选择合适的方程去模拟纹理的依据及算法。

　　在二维平面中，（x，y）表示坐标（x，y）处的表面法向量，i（x，y）表示图像在该点的像素值。

　　其中p、q为该点的像素值在x轴和y轴上的偏导。

　　纹理的特征：附近的像素的梯度变化是相反的。

　　在该像素点的8邻域、16邻域或32邻域内取式（3）和式（4）的符号，异号相乘为负，总会存在变化梯度符号相反的像素。寻找到使得公式符号相反的像素点之后，需要判断是否满足式（5）并使得相应的值取得最大并趋向于1，这样的点则可以被判定为纹理相关的分析点。

　　按照纹理的形状及其特征，将纹理分为规则圆弧状纹理和不规则长条状纹理。

　　长条状纹理：用来判定光源的方向，使得光源的位置更加精确。

　　圆弧状纹理：通过计算圆形的弧度（），来限制楔形夹角的大小（）。

　　图片中如果存在比较规则的物体，光源在物体上形成的纹理具有明显的弧度，可以通过这个弧度来限制楔形的夹角。

3 楔形结合纹理

　　在一般的图像分析中可以发现这样一个规律，楔形的方向可以根据光源的方向来确定，纹理的信息可以判定光源的方向。其流程图如图3所示。

　　下面是图像的分析步骤：

　　（1）观察图像中物体的形状特点，有针对性地选择规范的点和弧线。

　　（2）用MATLAB画出图像中规范点，描绘物体弧线上的纹理。

　　（3）用纹理信息并结合参考文献[4]确定光源方向。

　　（4）如果图片中没有规则的纹理，在规范点上只结合光源的方向来确定楔形的方向和角度。

　　（5）如果存在规则的纹理，则可通过测量纹理的角度来限制楔形的夹角。

　　（6）用上述方法在一幅图片中选择8~9个这样的楔形判断楔形的交集。如果有明显的交集，则这幅图片被判为真，反之为假。

　　从图片库中选择104幅图像，这些图像中带有较为规则的物体得到规则的纹理，测量纹理的弧度值，同时测量出其对应的理想楔形的夹角，根据数据的分布情况，可以假设和存在一定的线性约束关系。同时根据模型可以观察到，在规则的物体上和存在明显的约束关系。

　　对从图像库中随机抽取的104幅图像进行分析得到参数，用数据分析软件SPSS得到和的相关性0.871，即为显著性相关。用线性回归模型和二次回归模型去分析数据得到曲线估计如图4所示。其中实线表示线性回归曲线，虚线表示是二次回归曲线。

　　从曲线和软件分析可以得到?酌和?茁大致呈直线分布，线性和二次回归的直线方程分别为：

　　用这两个方程计算出?酌的取值范围。还可以用式（8）和（9）去加以限定使得结果更准确。

　　以图片的左下边界建立坐标系，式中表示光源与x轴的夹角，表示楔形下边界与x轴的夹角。

4 结果分析

　　4.1 图例分析

　　图5（a）是在有限的界面内就能得到正确的分析结果。图中红色标记的两个交集区域没有相交的部分，所以这幅图片是被篡改过的。图5（b）在有限的界面得不到分析结果，那么建立坐标系可以求出这两个楔形的边界的斜率ka<kb。不管是否要延伸，这两个边界线都有交点c点，即这两个交集是存在的，由此判定这幅图像是真实的。

4.2 算法比较

　　算法比较结果如表1所示。楔形的数量和角度已经可以精确到具体的范围而不是任意的数值，同时准确率已经提高到85.6%，达到比较理想的数值。

5 结论

　　本文提出的算法适用于单一光源照射的图片，比如自然光。基于图像光学特性的检测算法已经有了初步的研究，本文在前人研究的基础上提出了改进算法，进一步提高了检测图像的正确性和适用性。为了获得准确的测试结果，本文对模型做了简化，选择较为明显的感光面作为物体的纹理，主要分析明显的点来确定最小的集合，并用其他的试验点来测试所选的区域是否一致。通过前面的实验结果显示，本文改进算法的精确度可以达到理性的期望值。

　　参考文献

　　[1] RAFAEL C G， RICHARD E W.数字图像处理[M].阮秋琦，阮宇智，等译.北京：电子工业出版社，2011.

　　[2] 唐坤，葛华勇，房树娟，等.基于视觉特性的JPEG图像自适应隐写算法[J].微型机与应用，2015，34（8）：39-40，43.

　　[3] Ge Huayong， MALIK H. Exposing image forgery using inconsistent reflection vanishing point[C]. 2014 International Conference on Audio， Language and Image Processing（ICALIP）， 2014（4）：282-286.

　　[4] FARID H. Exposing digital forgeries from JPEG ghosts[J]. IEEE Transactions on Information Forensics and Security， 2009（4）：154-160.