0 引言

　　正交频分多址（OFDMA)中继通信系统覆盖域大、可扩展性强，相比传统的无线网络可以有效提高系统容量，是LTE网络的关键技术之一[1]。OFDMA中继系统能获得更高的峰值数据速率、频谱利用率、更好的小区边缘用户等性能, 是广大研究人员关注的焦点[2]。其通信系统中的资源分配问题也逐渐成为当今的研究热点。

　　根据中继节点对接收信号处理方式的不同可以分为放大-转发(Amplify and Forward，AF)和解码-转发(Decode and Forward，DF)方式。AF方式是中继节点对接收到的信号进行模拟处理，将信号放大后转发给目的节点，这样就存在放大噪声传递的缺点。而DF方式，是中继将接收到的信号进行解调、解码（如果编码）和判决，然后再将信号重新编码后转发给接收端。

　　关于OFDMA资源分配问题的研究目前也备受关注。文献[3]在DF中继模型下，研究了满足QoS下的中继选择、功率分配与子载波分配的联合优化问题。文献[4]是在单中继系统模型下，讨论了总功率约束下的用户间的公平性，并考虑了每个用户均有各自的速率需求。文献[5]是满足每个用户的子载波最小需求数目下获得的公平性的提高。文献[6]是在限定的总功率、误码率和速率比例下引入了均衡因子，对系统容量和用户公平性之间的均衡进行控制。

　　目前，现有的文献中，在OFDMA中继系统模型下考虑用户公平性的情况，基本上是在给定的功率下，根据用户的预定速率比调整子载波。未曾讨论过提高公平性付出的代价导致了用户的速率降低。文献中也只是单纯地从用户角度考虑载波分配问题，未曾考虑过怎样调整子载波使其速率损失降低最少，而后再去考虑功率优化分配的问题。在本文中，研究了子载波分配与功率分配联合优化下用户公平性的问题。且从不同角度考虑资源分配问题，并做了相互比较。算法一是使得用户间的速率比尽可能达到预定速率比的同时，也要保证其速率损失尽可能最小。算法二、算法三则体现了从不同角度进行载波分配的情况。仿真结果表明，提出的三种算法中，公平性都得到了提高，但系统的平均吞吐量却有所降低。且公平性达到越好，付出的速率损失代价就越大。

1 系统模型

　　本文为DF方式中继模型下的OFDMA上行链路系统，其中包含两个源节点S，两个中继节点R和一个目的节点D。这里要求每个用户的信息均通过中继转发给目的，即不存在S到D的直接链路。传输分为两个时隙：第一时隙S向R发送信息，R接收信息并进行解码；第二时隙R将编码后的信息转发给D。

　　图1中，S-R、R-D、S-D的子载波m的信道增益分别为

2 优化问题与分析

　　在DF中继方式下，总功率分别为源端和中继端的功率。

　　要使速率最大，则：

　　a为等效信道增益：

　　等效速率为：

　　本文考虑每个用户、每个中继均有各自的功率限制，且每个用户均有最小速率要求,在这些约束条件下，最大化系统容量。目标函数如下：

　　其中式(7)、(8)是指对于一个子载波最多分配给一个用户和一个中继。式(9)、(10)分别为源端和中继端各自的功率约束。式(11)为每个用户的最小速率需求。

3 算法分析

3.1 算法一

　　算法一是通过对Lagrange对偶函数问题求解分析，根据所得代价函数H，再次调整子载波时将对于该用户H值最小的子载波移给对方。这样不仅考虑到用户间的公平性，也保证了其速率损失尽可能最小。

　　式(6)的目标函数为凸函数，利用Lagrange对偶法[8]求解式(6)～(13)，问题转化为：

　　优化问题转化为：

　　根据文献[4]，对于每一个子载波m，可以分解为M个次优问题，则：

　　根据Karush-Kuhn-Tucker(KKT)条件[8]，最后可以得到子载波m的最优功率：

　　带入可得：

是K×N的矩阵，定义为代价函数，是子载波m分别对应用户1、用户2、中继1、中继2的能量功耗代价函数值，值越大，子载波m即分配给相应的用户和中继。

　　可以表示为：

　　方案1分配子载波的流程如下：

　　(1)按照式(25)将所有的子载波分配给对应的用户和中继。

　　(2)将用户1、用户2所分配到的子载波对应的代价函数值H存储在S1、S2中，按照函数值从大到小的顺序排列。

　　(3)先分别计算出用户1、用户2已分得的子载波个数N1、N2。再根据预定速率比与总共的子载波数目，算出两个用户预定子载波个数N1?鄢、N2?鄢。若此时N1>N1?鄢，则将用户1中S1的后(N1-N1?鄢)个子载波分配给用户2，这样保证了用户1移走子载波后，对其速率影响不会太大；反之同理。这样，按照子载波个数比等于预定速率比，初步完成了两个用户子载波的分配。

　　(4)最后再次计算用户1和用户2的实际速率比Q，若Q>Q?鄢（或Q

　3.2 算法二

　　算法二的子载波分配方案是从子载波端出发，按照3.1.1中介绍的，根据矩阵H中的取值，找出每个子载波对应的最优用户与最优中继。分配过程中若其中某一用户分配完所需的子载波，即停止对他的分配，将剩余的子载波全部分配给另一用户。最后根据实际的速率比，再次对两个用户的子载波做相应调整。此算法子载波分配的速度较快。

　　由于本文是速率最大化，即使两个用户按照预定比例速率分配子载波，但在利用注水算法分配功率时仍会按照用户的最大功率限制分配完所有功率，即：即使一个用户分配了少量的子载波，但每个子载波上的功率会很大（因为此时相当于水平面变高，衡量的标准不一）。这样，比较两个用户的实际速率时，无法体现出公平性。

　　本文在分配功率时进行了改进。第一步，为两个用户分配预定的子载波，再进行功率分配。第二步，根据两个用户的实际速率，再次调整子载波。这里假设用户1将自己的一个子载波移给用户2。调整完子载波后，再进行功率的重新分配。这里重新分配功率时，用户1仍按照原先数量的子载波分配功率，而再次获得子载波的用户2却按照现有的子载波分配功率。但分配完功率后，在计算实际速率时，用户1却要去除分走的子载波及其上的功率，只计算调整后的子载波上的速率。用户2则计算现有子载波速率即可。

3.3 算法三

　　算法三的子载波分配方法是从用户端出发，定义两用户最简速率比Q1?鄢：Q2?鄢=Q?鄢，那么每次给用户1、用户2分配子载波时就按照子载波个数比等于速率比依次分配（n1:n2=Q1:Q2），直到分配完所有的子载波。

　　算法三的功率分配方案与算法二相同。

4 仿真分析

　　本节给出了上述几种算法的仿真结果与分析。信道衰落为独立同分布且均值为1的瑞利衰落。子载波数目为50。用户端与中继端允许的最大功率为1。

　　图2给出了用户1与用户2的速率比例曲线，两个用户的最小速率分别为0.4 bps/Hz、0.6 bps/Hz。仿真图中，最下边的曲线为预定比例速率曲线。可以看出没有考虑公平性时，公平曲线偏离预定曲线最远。其次,离预定公平曲线最近的是算法一得到的曲线，依次往上的两条曲线分别是算法二和算法三的仿真曲线。可以看出，算法三得到的公平性效果最好，算法二次之，算法一有相应提高。

　　图3中是对应的用户平均吞吐量曲线。其中算法一、算法二、算法三是已调整速率后的平均吞吐量曲线。当然，从图中可以看出，吞吐量达到最大的是不考虑公平性的算法，因为它只是根据信道增益的大小分配子载波。在本文提出的三种算法中，由于考虑了公平性需重新调整子载波，当然分配的功率也有所变化，这样最后得到的吞吐量比不考虑公平性的要降低一些。其中，算法一虽然公平性提高的不多，但吞吐量高于其余两种算法。算法二与算法三的吞吐量依次减少。可以看出公平性的提高是以速率损失为代价的。

　　图4、图5分别是两个用户最小速率为0.3 bps/Hz、0.7 bps/Hz时对应的公平性和速率图。从图4中可以看出，此时用户1、用户2预定速率比为3/7，比图2中低（预定速率比为4/6）。其对应的三种算法得到的公平性曲线当然也比图2中低。其中算法三得到的公平性更接近于预定比例速率（3/7）。但它们都无法达到预定比例速率。从图5中可以看到，这时付出的速率损失比图3中的更多一些，并且算法三得到的系统容量降低更多。

5 结束语

　　本文针对OFDMA多中继多用户系统下，研究了用户公平性的问题，并提出了三种算法。最后进行了仿真分析与比较。仿真结果表明，用户公平性的提高是以降低了系统吞吐量为代价的。提出的三种算法在某种程度上都提高了用户的公平性，但公平性达到越好，速率损失也会相应的有所增加。因此，怎样更好地权衡公平性与速率损失是下一阶段研究的重要问题。

参考文献

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