摘 要： 采用直流电动机的实测参数建立直流电动机的模型；提出了PID控制系统框图，并给出了该电动机的离散时间PI转速控制器和PD位置控制器；通过MATLAB/Simulink仿真实验，分析所设计系统在电动机空载和有载时的性能。实验表明，所设计的控制器具有良好的动态性能，对于电动机的负荷变化具有很强的鲁棒性。同时对面向实际应用的PID控制设计问题，进行了相应的分析和讨论。

关键词： PID控制；直流电动机；建模与仿真；速度控制；位置控制

　　电动机转速和位置的控制是汽车、挖掘机等机械系统中最常见的控制问题。人们已经提出了若干现代控制方法和算法，例如自适应控制、模糊控制、预测控制、专家控制、神经网络控制等[1－3]。然而，实践和实验表明，在实际产品的研发中，PID控制因其出色的适应性、有效性和鲁棒性等特点，仍是研发者的首选控制方法。可以说，PID是历史最久、生命力最强的控制方式

　　在阐述PID方法的文献中[4-5]，一般采用图1所示的典型控制系统框图，但是在实际系统的PID控制设计中，直接应用图1是有问题的。面向实际应用的PID控制问题，应该采用图2所示的系统方框图进行设计。

　　本文依据某公司一款直流电动机的实测参数建立电动机的连续时间数学模型，采用图2所示的控制系统框图设计该电动机转速和位置的离散时间PID控制器，通过仿真实验分析所设计系统的控制性能，并对设计中的有关问题进行分析和讨论。

1 建模和PID控制设计

　　1.1 直流电动机的连续时间模型

　　假定转子和轴都是刚性的。直流电动机的等效电路和机械参量如图3所示，其中R和L分别为电机的等效电阻和电感，e是电机的反电势，是电机的角速度，T是电机的转矩，b是机械系统阻尼率，J是电机的转动惯量。电动机转矩T正比于电流，反电动势e正比于电动机角速度，即有[4]：

　　其中，Kt和Ke分别为电枢常数和电动势常数，在国际单位制下两者相等，即：

　　Kt=Ke=K（3）

　　根据Kirchhoff定律和Newton定律，结合式（1）、式（2），由图3可得直流电动机所满足的方程为：

　　式（8）即为转角位置控制下直流电动机的连续时间模型。当考虑速度控制时，系统输出是d?兹/dt，因此速度控制下电动机的模型为：

　　其中电机的实验室实测参数为：电阻R=4 ，电感L= 2.75×10-6 H，电动势常数K=0.027 4 Nm/Amp，机械阻尼率b=3.5077×10-6 Nms，转动惯量J=3.2284×10-6 kg·m2/s2。上述参数分别代入式（8）和式（9）后得：

　　1.2 连续时间PID控制

　　图1中PID控制的输入输出关系为：

　　其中，Kp、Ki、Kd分别为比例、积分和微分增益。由式（12）可得PID控制器的系统函数为：

　　本文设计采用图2所示系统，其中的电机控制特性单元将位置或转速误差相关信息u（t）转换为电机控制电压v（t）。

　　当将电机用式（8）或式（9）的数学模型表示时，电机是一个线性系统，其控制特性可以通过对阶跃响应的分析确定，通常为一个比例环节，即有：

　　设计的关键问题就是根据被控对象确定Kp、Ki、Kd和Kv，使得闭环系统动态特性满足要求。

　　1.3 电机转速PID控制设计

　　在转速控制设计时，该电机的模型为系统函数Hs（s），Hs（s）的单位阶跃响应如图4所示。由图可知：

　　（1）阶跃响应的稳态值[6]为y（∞）=sHs（s）=35.83 rad/s。考虑到在正常工作范围内，电机转速具有较好的线性控制特性，因此取：

　　Kv0.02791 V（16）

　　（2）该电机的稳定时间约为115 ms。

　　转速控制的设计要求：（1）闭环系统阶跃响应无超调振荡；（2）闭环系统阶跃响应的稳定时间小于40 ms；（3）闭环系统阶跃响应无稳态误差。

　　本文对于转速采用PI控制，满足设计要求的各增益参数为Kv=0.027 91、Kp=5、Ki=275，稳定时间约为25 ms，阶跃响应曲线如图5中的实线所示。作为对比，图5同时还给出了开环系统的单位阶跃响应（虚线）和单纯P控制时的单位阶跃响应（点划线），可以看到动态性能得到有效的改善。

　　1.4 电机转角PID控制设计

　　在转角控制设计时，该电机的模型为Hp（s），其单位阶跃响应如图6所示。

　　转角位置控制中，除稳定时间小于30 ms外，其他设计要求与速度控制类似。本文采用PD控制，所设计的增益参数为Kp=270、Kd=4.5，稳定时间约为20 ms，阶跃响应曲线如图7中的实线所示。作为对比，图7同时还给出了开环系统的单位阶跃响应（底部虚线）和单纯P控制时的单位阶跃响应（点划线）。可以看到微分环节对于消除过调量有着显著的作用。

　　1.5 离散时间PID控制设计

　　实现离散PID控制有多种方法[6]，这里采用双线性变换将前面的连续PID控制转换为离散PID控制。双线性变换公式为：

　　实际应用中只需实现PID控制器的离散化。图8、图9分别为转速和转角控制下，离散闭环系统的单位阶跃响应，可以看到其特性满足要求。与式（19）和式（20）对应的离散PID计算公式分别为：

　　us（n）=us（n-1）+5.1375e（n）-4.8625e（n-1）（21）

　　up（n）=-up（n-1）+9270e（n）-8370e（n-1）（22）

　　2 有载电机仿真实验

　　当电机加载工作时，负载的变化会导致电动机扭矩的变化，从而引起电动机转速的变化。对于绝大多数电动机，扭矩和转速间的关系可以用图10所示的线性模型很好地近似，即：

　　仿真中采用图11所示的系统进行有载模拟实验，图12~图13是有载仿真实验举例。其中，假定负载引起的转速变化范围为[-80，80]（rpm），n（t）是周期为0.5 s的对称三角波。图13是有载情况下电动机输出的转速。可以看到，即使负载导致转速有很大的变化（趋势），所设计的PI控制器仍然能有很好的转速控制作用。

参考文献

　　[1] 杨三青，王仁明，曾庆山.过程控制[M].武汉：华中科技大学出版社，2008.

　　[2] 潘立登.过程控制[M].北京：机械工业出版社，2008.

　　[3] 王昕，赵丁选.基于单神经元的液压挖掘机自适应PD节能控制[J].吉林大学学报（工学版），2005，35（4）：377-380.

　　[4] 李元春.计算机控制系统[M].北京：高等教育出版社，2005.

　　[5] 戴永.微机控制技术[M].长沙：湖南大学出版社，2004.

　　[6] 芮坤生，潘孟贤，丁志中.信号分析与处理[M].北京：高等教育出版社，2003.

　　（收稿日期：2014-03-21）