近几年来，随着MA Y^[1-2]等人提出了基于稀疏表示分类的人脸识别，掀起SRC在人脸识别领域应用的热潮。郝静静^[3]等人提出一种改进的人脸识别方法，效果得到明显提高。SALAH R^[4]等人结合纹理特征提取和稀疏表示实现人脸表情的识别。Zhang Shiqing^[5]等人把Gabor小波和局部二值化(LBP)分别用于表情特征提取，评估稀疏表示分类(SRC)的性能，并与支持向量机(SVM)、NSC、NNC等进行了比较。MAHOOR H^[6]等人对人脸运动单元进行稀疏表示实现表情识别，并与SVM、NSC方法进行了比较。但表情特征相对于人脸特征复杂，表情样本少，加大了表情识别难度；直接运用SRC实现表情识别效果不是很好。邹修国^[7]等人把人脸识别系统应用到DSP，为识别系统广泛应用奠定了基础。

针对上述识别方法的优缺点，本文提出双模板稀疏表示算法对人脸表情进行识别。通过增加正、负模板重构新的观测矩阵，优化了稀疏表示的性能，减少噪声、遮挡等对表情识别的影响，提高了表情的识别率。

1 基于稀疏表示的表情识别

1.1 稀疏表示理论

稀疏表示SR(sparse representation)可称为压缩感知，在很多领域扮演了越来越重要的角色。在式(1)中，稀疏表示理论的核心是在过完备矩阵D∈R^m×n下，重构出的逼近原信号x，可理解为求解方程的过程:

在实际应用中，当m<0即最小l0范数解:

但式(2)的求解过程是一个NP-hard问题，计算效率极低。参考文献[8]指出，在满足约束等距性RIP的条件下，最小l₁范数解逼近最小l₀范数解。所以，可以在解集合寻找最小范数解(min‖x‖₁)来代替求min‖x‖₀，这是一个凸优化问题，用式(3)表示：

对于上述最优化问题，有许多l₁算法^[9]能够有效地求解，包括正交匹配追踪算法、LASSO、SPGL1算法等。

1.2 基于稀疏表示的表情识别算法

　　从表情库中随机取大部分人脸图像作为训练样本，用于构建测试样本对应的冗余字典。设第i类训练样本用矩阵表示为,每个图像用v来表示。将k类共n个训练样本组合在一起形成整个训练集矩阵D：

其中，m表示样本的像素点，n_i表示第i类样本数目。通过求解出测试人脸在由训练样本构成的字典里的表示，可以知道测试人脸的表情类别信息。给出一个属于第i类的测试样本y，可以表示为：

测试样本仅用来表示自同一类训练样本的线性组合，其他类别的系数为零，即求解出的解x1=[0,0,…,0,],只有第i类的值是非0元素。系数向量a中包含大量有利于分类的信息。判断测试样本所属类别的公式为：

其中δ_i(x₁)∈Rⁿ，是第i组系数中非零的数为系数x₁中与i对应的那些数。r_i(y)=‖y-Aδ_i(x₁)‖₂表示的是y与Aδ_i(x₁)的残差值,认为残差值最小的对应类别i为y的类别。

2 双模板稀疏分类算法

实际应用中，训练样本个数和单样本的像素点影响原信号重构的效果。直接用训练样本来构造冗余字典D，重构效率很低。由于图像中含有噪声干扰，为了解决噪声的影响，式(1)改写为：

其中，ε表示误差向量，它与稀疏解x一样含有大量的稀疏零点。因此，为了方便计算，把解x和ε合并起来，添加一个模板I去构造新的矩阵B，故y可以表示为：

其中,B=[D,I]∈R^m×(n+m)。由于m<(m+n)，所以方程(8)一直是欠定方程，ω的解并不唯一。把矩阵I用单位矩阵表示，I的向量i_i∈R^m中只含一个非零数，用来表示图像中零散的噪声点。单模板I通过向量e帮助x分担原图像的零散噪声，使更多有用信息集中于向量x上。

原则上,观测矩阵D在没有限制的条件下，系数x可以为任何实数。然而，在识别的应用中，被识别的目标应该被训练样本用非负系数所表示。在训练样本库中，寻找到类似测试样本类别的个体时，主要集中于该类似样本的非负系数上。然而，直接对上述的辅助稀疏x、e进行非负约束不太合理。因此，本文在正模板的基础上提出了双模板的扩展矩阵。如图1所示，由训练样本矩阵、正模板和负模板共同构造双模板的观测矩阵。把测试样本中可能存在的负值转移到负模板，消除负系数对稀疏解x用于分类时的影响。此时，式(1)可写为：

图1 双模板观测矩阵

其中，e⁺∈R^m，e^-∈R^m分别为正辅助系数和负辅助系数向量，新观测矩阵R^n+2m是非负系数向量。此时，负模板-I中的每一列向量-i_i只含有一个零值，与正模板的i_i刚好相反,可以减少稀疏表示中对n的要求，解决样本数不够的问题。式(8)的矩阵B中m<2m+n,因此是欠定方程，且ω没有唯一的解。通过变换域把式(8)求解问题转化为l_1-正则化最小平方问题，稀疏表达式表示为：

其中‖·‖₁和‖·‖₂分别表示l₁和l₂范数。本文使用l₁范数解法l₁_l_s求稀疏解x。然后把稀疏解x代入式(6)，求出残差值，即可得到测试样本y对应的类别。

　　对于一个有效的测试人脸，所求的非零系数集中于单个训练目标。为了衡量观测矩阵的性能，参考文献[4]定义稀疏集中指数(SCI)来测量稀疏系数集中程度：

如果则测试样本只用一个目标样本来表示；如果，则测试样本的稀疏表示均匀地分布在所有样本中。的值越大，说明求解的x稀疏性越好。本文将通过衡量SCI指数比较DT-SRC和SRC的性能。

3 实验及结果分析

3.1 JAFFE人脸数据库上的实验

对人脸库的图像进行几何归一化、灰度归一化、滤波等预处理。JAFFE人脸图像经过预处理后大小为64×64，如图2所示，从左到右依次为愤怒、厌恶、恐惧、开心、自然、伤心、惊奇7种表情。

图2 KA的7种表情预处理后的图像

把JAFFE人脸库的210张图片按7种表情进行分类，每人每种表情随机抽取一个作为测试样本，其他为训练样本。对人脸图像进行下采样降维，针对SRC和DT-SRC算法选择最优的下采样率,采样点为15×7，比较NSC、SRC和DT-SRC的识别性能。

表1中平均SCI指数为统计70个测试人脸的每个SCI指数后求平均值，它能反映出稀疏表示分类的识别性能。从表1可以看出，DT-SRC相对SRC和NSC在识别率上有很大的提升，但牺牲了一定的时间;SRC和NSC的识别率差不多。

图3中，SCI指数的范围为[0,1]，指数越接近1，所求得的解越稀疏，稀疏性越好。从图3可以看出，在第12、50个测试样本时SCI都很低，可以认为这些样本类别不能很好地被识别，所含的表情分类信息不明显；DT-SRC的SCI指数普遍比SRC的高，则DT-SRC的重构效果比SRC有了很大的提高。

图3 JAFFE的测试人脸在SRC、DT-SRC的SCI指数

本文取图3的第70个测试人脸图，列出该图在DT-SRC和SRC下的残差值，如图4所示。图4(a)为第70个人脸的裁剪图,图4(b)和图4(c)中的横坐标1~7分别表示愤怒、厌恶、恐惧、开心、自然、伤心、惊奇的7种表情。图4(b)、图4(c)的第7个方柱(惊奇)的残差值最低，可以判断出图4(a)的类别是惊奇，该人脸的表情是惊奇。从图4可以看出，DT-SRC的第7类表情残差值相对其他类表情要明显，所求解的系数x在表情类别中主要集中于惊奇处。图4(b)中最低两个残差值的比例大约为1 400/100=14:1；图4(c)中最低两个残差值的比例大约为500/200=5:2；在该测试人脸的识别中，DT-SRC算法比SRC有更好的稀疏性和分类效果。

图4 某个测试人脸的残差值图

3.2 在CK人脸数据库上的实验

3.1节实验同样适用于Cohn-Kanade(CK)表情库。选取裁剪成64×64的CK人脸库作为实验数据库，把其中一人的7种表情显示如图5所示,从左到右依次为厌恶、恐惧、开心、自然、伤心、惊奇、愤怒7种表情。

图5 CK的7种表情预处理后的图像

CK库有18个人，每个人每种表情有5张，有7种表情，共有630张图像。每人每种表情随机抽取一个作为测试样本，其他为训练样本，则总有126张测试样本、504张训练样本。然后比较NSC、SRC、ISRC 3种算法的识别率，实验结果如表2所示。计算每张CK测试人脸在SRC、DT-SRC识别后的SCI指数，126张测试人脸的SCI指数如图6所示。

图6 CK的测试人脸在SRC、DT-SRC的SCI指数

分析表1和表2可知，SRC和NSC在识别时间上比其他方法有绝对的优势，而且识别率也较好。在CK库中的识别率明显比JAFFE库好，这是因为所使用的CK库的图片质量好，各表情差异明显。DT-SRC比SRC和NSC在识别率方面有所提高，特别是在图片表情特征不明显的情况下，识别率能有很大的提高。其实，在CK库中所使用训练样本比较多，SRC算法能达到很高的识别率。但在JAFFE库里，由于表情库的样本不多，导致字典D的列数不够，不能充分发挥出稀疏表示的作用，从而导致它的识别率低。而本文的算法DT-SRC弥补了字典矩阵D列数不足的缺点，且降低了噪声和负系数的影响，使识别率得到提高，但牺牲了一定的运算时间。

从图3和图6的SCI指数图看出，DT-SRC的SCI总体上比SRC的高，DT-SRC的稀疏表示性比SRC的好。当测试样本不是有效的人脸时，DT-SRC能更好地排除该张图片，减少错误的判断。

本文提出的DT-SRC实用性强、效率高，降低了识别的复杂度，解决了SRC用于表情识别时效率不高的问题。通过SRC与DT-SRC的比较，发现字典矩阵D的构造影响着正确识别率和稀疏分类性能，D中的元素能最大程度地表示测试样本的结构，且所添加的正、负模板可消除噪声、负系数等影响。因此，DT-SRC在表情识别方面效果不错。

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