摘 要：迭代重建法能够解决径向采样数据欠采样后网格化重建存在伪影的问题。非线性反演法能够提高并行磁共振成像图像重建的质量，它能够利用少量k-空间中心的数据来同时估计图像的信息和线圈的灵敏度。利用TV正则化的高斯牛顿迭代方法对欠采样因子较大的径向轨迹并行磁共振数据进行重建，得到无伪影的高质量图像。
关键词：径向采样；并行成像；网格化；非线性反演

磁共振成像MRI（Magnetic Resonance Imaging）自1973年由LAUTERBUR P提出并得到第一幅质子密度加权图像[1]到现在已经经历了几十年的发展，但是传统的MRI成像时间长，对于一些运动快的部位的成像有伪影。因此，几十年来学者们一直致力于加快MRI成像速度。传统MRI采用笛卡尔轨迹，它的重建方法简单，但逐行采集对运动造成的伪影很敏感。非笛卡尔采样（如径向采样）比笛卡尔采样有明显的优势：(1)径向采样数据的每条线含有等量的低频到高频信息，这有利于MRI图像的欠采样重建；（2）径向采样模式决定其对k-空间中心数据的过采样，而k-空间中心数据决定图像的主要信息，因此径向采样对物体的运动没有笛卡尔采样那么敏感，这也有利于MRI图像的对比度和并行成像，从欠采样数据中获得低分辨率图像。
由于径向采样不是均匀采样，因此不能直接进行傅里叶变换而得到图像。目前对径向采样的重建方法主要有非均匀傅里叶变换NUFFT（Non-Uniform FFT）、滤波反投影法FBP（Filtered Back Projection）和网格化法（Gridding）[2-3]。对于欠采样数据，径向采样的重建存在严重的拖尾伪影，BLOCK K T等[4]于2007年提出用合适的惩罚项和TV正则化迭代的方法可以消除拖尾伪影。近年来有研究显示，正则化高斯牛顿迭代法已成功应用于并行成像。如今，将非笛卡尔采样轨迹应用到多通道并形成像是研究的热点。本文将用网格化方法把径向采样数据插值到网格点，然后利用TV正则化高斯牛顿迭代法对多通道径向稀疏采样数据进行重建。
1 网格化法
网格化法来源于射电天文学（Radio Astronomy），是插值重建算法的一种，它的过程是先将非笛卡尔采样数据插值到笛卡尔坐标系下均匀分布的网格点上，然后进行傅里叶变换得到磁共振图像。1985年，O′SULLIVAN对网格化法进行了研究，认为最理想的卷积核函数是无限长的sinc函数，然而实际过程中只能采用有限长的卷积核函数。1991年，美国Stanford大学的JACKSON J L提出用Kaiser-Bessel窗函数作为卷积函数能够得到较好的插值结果，这一结论得到广泛的认同。

2 非线性反演法
对于并行磁共振成像的图像重建，基本的信号方程可以理解为一个非线性方程，正则化非线性反演法可以同时获得图像和线圈灵敏度[5-6]。用Fs代表采样轨迹，从N个线圈接收到采样后的数据用g表示，g=(g1，…，gN)T，u表示质子密度，未知的线圈灵敏度表示为c=(c1，…，cN)T，则信号方程为：

3 实验
实验数据来自西门子磁共振仪对志愿者用径向脉冲序列进行心脏扫描，得到12通道并行径向数据，每个通道数据都是25×256的矩阵，即采集25条径向线，每条径向线采256个数据点。用MATLAB 7.0仿真软件对原始数据先用网格化方法插值到均匀网格点，继而用非线性反演法中IRGN法迭代6次，惩则项用2-范数，正则化用TV法。
12通道径向采集数据经网格化后得到的图像如图1所示，由于只采25条径向线，因此各通道图像都只能重建出心脏的轮廓，而且伪影很严重。

仿真后的图像如图2所示。其中，图2（a）为把多通道数据直接网格化后对数据用平方和法得到的图像，从图像中可以比较清楚地看到心脏，周围的伪影是径向成像独有的拖尾伪影，这是由采集的数据过少造成的。图2（b）为对网格化后数据用IRGN法迭代6次后的图像，与图2（a）相比，伪影已经消失，图像也清楚很多。

本文结合多通道并行成像可以加快成像速度和径向采样对低频数据的过采样的优点，同时又采用IRGN方法消除了径向稀疏采样网格化重建存在的拖尾伪影，用非常少的数据得到较好的图像。
参考文献
[1] LAUTERBUR P C. Image formation by induced local interactions： examples employing nuclear magnetic resonance [J]. Nature， 1973， 242： 190-191.
[2] O′SULLIVAN J. A fast sinc gridding algorithm for Fourier inversion in computer tomography[C]. IEEE Transactions on Medical Imaging， 1985（4）： 200-207.
[3] JACKSON J L， MEYER C H， MISHIMURADG， et al. Selection of a convolution function for Fourier inversion using gridding[C]. IEEE Transactions on Medical Imaging，1991（10）： 473-478.
[4] BLOCK K T， UECKER M， FRAHM J. Undersampled radial MRI with multiple coils. Iterative image reconstruction using a total variation constraint [J]. Magnetic Resonance in Medicine， 2007（57）： 1086-1098.
[5] KNOLL F， CLASON C， BREDIES R， et al. Parallel imaging with nonlinear reconstruction using variational penalties[J]. Magnetic Resonance in Medicine， 2012（67）：34-41.
[6] UECKER M， HOHAGE T， BLOCK K T， et al. Image reconstruction by regularized nonlinear inversion-joint estimation of coil sensitivities and image content [J]. Magnetic Resonance in Medicine， 2008 （60）：674-682.
[7] BAKUSHINSKY A B， KOKURIN M Y. Iterative methods for approximate solution of inverse problems[M]. Dordrecht： Springer， 2004.
[8] UECKER M， Zhang Shuo， FRAHM J. Nonlinear inverse reconstruction for real-time MRI of the human heart using undersampled radial FLASH[J]. Magnetic Resonance in Medicine， 2010（63）：1456-1462.