摘 要：将高斯混合尺度算法和方向小波分解相结合，建立了小波分解系数的邻域模型，并基于该模型提出一种有效减少计算消耗的局部去噪方法。通过一系列模拟图像去噪试验，证明了此算法的有效性。
关键词：贝叶斯估计 高斯混合尺度 去噪 统计模型
图像去噪在计算机视觉、模式识别等领域是十分重要的技术。常用的方法难以解决噪声去除与边缘模糊的矛盾。因此寻找一种既能有效去除噪声又能较好地保留边缘的图像去噪方法一直是这一领域的热门话题。小波变换是一种强有力的数学分析工具，近年来受到广泛的关注，其应用已遍及信号和图像分析的多个研究领域。小波变换能够同时给出信号和图像的时(空)域和频域信息，因此，在小波变换域中进行降噪具有空间与频率的双重选择性。本文基于高斯混合尺度建立了方向小波的方向塔式[1]分解系数邻域模型，并研究了一种局部去噪方法——Bayes最小平方估计。
1 图像统计模型及去噪
从随机样本观测中注意到，单独的图像并非具有局部同态性，反应在带通滤波器的边缘响应特征上就是在原点具有尖峰，而衰减速度落后于高斯函数曲线。近年来，非高斯特性的图像统计模型得到了发展。由于高斯混合尺度能最大逼近非高斯边缘响应，加之完美的数学框架，使其成为各类图像处理应用的首选。图像边缘响应与高斯混合尺度模拟如图1所示。小波分解各子波带中，系数随尺度变化规律允许利用点的非线性特点去除噪声（通常选用阀值法）。
图像局部系数模值之间的相关性如同边缘相关特性一样，可以用随机域空间变量建模。高斯向量与隐系数乘积的一个特例就是高斯混合尺度（Gaussian Scale Mixture，GSM）。本文假设局部变量由连续可变的系数控制，以捕捉图像小波系数边缘密度的峰值抖动，并推导出适用于GSM模型方法的最优最小平方一步Bayes估计。
2 图像概率模型
2.1 高斯混合尺度
2.2 小波系数的GSM模型
GSM模型既可描述小波系数边缘的形状又可描述邻系数模值间的相关性。为了从局部描述建立图像的全局模型，必须明确系数的邻域结构和权系数的分布。将系数分划到不相重叠的邻域，并确定权系数（看作独立变量）的边缘模型或者通过权系数全集来确定联合密度，虽然这样可以简化全局模型的定义，但正交邻域的引入将导致邻域边界不连续点的去噪问题。
一种解决方法就是将GSM作为塔中以每个系数为中心的系数簇的局部行为描述。由于邻域相互重叠，每个系数都同属于多个邻域。这种局部模型暗含着定义了全局Markov模型，由给定了邻域的各簇中的系数条件概率密度来描述，并假设条件独立于其他系数。但最后的模型结构要求的精确统计推理（计算Bayes估计）对计算提出挑战。因此简化了邻域中心参考系数的估计问题。
2.3 权系数先验概率密度
要完成该模型，还需要确定权系数的概率密度pz(z)。本文中应用无信息先验方法。此方法的优点是它无需调节任何参数就可适应含噪的情况，曾用于图像去噪中建立边缘先验。其中最广泛使用的是Jeffery先验。 从系数X估计权系数z，应用下面的形式：
3 图像去噪
图像去噪过程：首先，分解图像到不同尺度、方向的塔式子波带；然后，对各子波带（除低通残余带外）分别去噪；最后，通过塔式反变换，得到去噪图像。假设图像被已知方差的独立加性高斯白噪声所侵蚀（此方法同样适用于已知协方差的非高斯白噪声)，向量Y对应于塔式表达的由N个观测系数组成的邻域，则：
到塔式子波带获得，(Ny，Nx)为图像的维数，此δ信号与噪声信号具有相同的能量谱，但不受随机扰动的影响。Cw的元素可直接计算作为样本协方差(例如，通过对子波带的所有邻域成对系数的乘积取平均)。此过程很容易推广到非白噪声，只须换δ函数为噪声能量谱密度平方根的Fourier反变换。
给定Cw，信号协方差Cu就可以从观测协方差Cy计算得到。通过z的期望值则可以从CY/z得到Cy=E{z}Cu+Cw。
令E{z}=1，则：
Cu=Cy-Cw (6)
通过特征向量分解并令所有可能为负的特征值为零，保证Cu半正定。
3.1 Bayes最小平方估计
对于每个邻域，希望从观测系数列Y估计得到邻域的中心参考系数xc，而Bayes最小平方估计(BLS)正是条件平均(如式(7))。假设函数惟一收敛，则可以交换积分次序。这样，此方法即是计算x在条件z下，以后验密度p(z/Y)为权重的Bayes最小平方估计的均值。下面逐个讨论其组成元素。
3.2 局部维纳估计
GSM模型的关键优势在于条件z下系数邻域向量X为高斯形，且假设为加性高斯噪声，此时8邻域的期望值(3×3模块）简化为线性维纳估计。
3.3 权系数的后验分布
方法中(7)式的另一元素是以观测邻域值为条件的权系数分布，应用Bayes规则得：
对函数pz(z)选用无信息Jeffery先验，在原点得到修正。条件概密p(Y/z)由(5)式给出，并通过(9)式和V的定义简化得：
去噪过程如下。
(1)分解图像到子波带。
(2)对于每个子波带（除低通残余波带）：
①从图像域噪声协方差计算邻域噪声协方差Cw。
②估计含噪邻域协方差Cy。
③根据(6)式，利用Cy和Cw估计Cu。
④计算∧和M。
⑤对于每一邻域：(a)在邻域内对于每个z值：根据(11)式计算E{xc/Y，z}；根据(13)式计算p(Y/z)。(b)根据(12)和(3)式计算p(z/Y)。(c)根据(7)式计算E{xc/Y}的数值。
(3)利用经过去噪处理的子波带和低通残余子波带重建去噪图像。
4 应用结果
应用方向塔式变换将图像分解至各子波带(文中使用4个方向、5个尺度的方向带通子波带，1个高通和1个低通残余子波带)。试验了邻域结构(如空间位置、尺度和方向的选择)，平均来说参考系数周围的3×3区域结构可取得较好的结果。对z，在其log函数空间（试验中使用区间[log(zmin)=-20.5，log(zmax=3.5)]）均匀采样，这样对于相同精度要求只须较少的采样点(与线性采样相比)，且z的Jeffery先验在log域中为常数。在256灰度图像（被计算机模拟的5个不同方差的高斯噪声所污染）上测试该模型，得到的图像去噪实验结果表如表1所示。表中，PSNR＝20log10(255/σe)，为峰值信噪比，单位dB；σe为误差标准偏差。
将此方法与2种广泛应用的去噪方法比较：与维纳滤波法去噪结果的对比图如图2所示。与Db8小波域低频滤波法去噪结果对比图如图3所示。从对比结果可以看到本文所采用的方法充分保留了原始图像的特征,去噪效果明显优于其他2种方法。
5 结 论
本文讨论了一种基于全局紧框架的方向塔式表达中的局部高斯混合尺度模型。在许多方面该统计模型不同于先前的模型。(1)原来的模型或基于可分正交小波或基于此类小波的冗余形式，而本方法基于全局紧框架且可包含斜角方向可选的基函数。此表达形式增加了冗余，同时提高了方向的辨识能力从而增强了去噪能力。(2)模型暗含了相邻系数间联合变量而不只是考虑边缘响应或局部变量。处理结果证明了此方法的去噪能力，但此方法也有一定的局限性，还需深入研究。
参考文献
1 Zhuang X H，Huang Y.Gaussian Mixture Density Modeling，Decomposition and Application.IEEE Transactions on Image Processing，1996；5（9）
2 Simoncelli E P，Freeman W T.The Steerable Pyramid：A Flexible Architecture for Multiscale Derivative Computation.In：IEEE Second International Conference on Image Processing，Washington，DC，USA，1995
3 Belge M，Kilmer M E，Moller E L.Walelet Domain Image Restoration with Adaptive Edge-preserving Regularization. IEEE Transactions on Image Processing，2000；9（4）
4 Wai H P，Jeffs B D.Adaptive Image Restoration Using a Generalized Gaussian Model for Unknown Noise.IEEE Transaction on Image Processinhg，1995；4（10）
5 Mallat S著，杨力华译.信号处理的小波导引.北京：机械工业出版社，2002
6 陈逢时.子波变换理论及其在信号处理中的应用.北京：国防工业出版社，1998