摘 要:椭圆曲线公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" title="公钥密码体制">公钥密码体制" 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关键词:椭圆曲线 椭圆曲线公钥密码体制 偏移表

　　随着互联网的迅猛发展,越来越多的信息可以通过网络传播,由此对信息的安全性要求越来越高。信息安全,就是确保信息在传播及存储当中不被未授权者理解其真实内容。

　　相对于其他数据而言,数字图像数据所蕴涵的信息要丰富得多,因此数字图像数据的信息安全性也格外受到重视。数字图像加密也称数字图像置乱。由于数字图像在计算机中往往是用数据矩阵来表示的,所以对普通数据的加密技术基本上都可以用于数字图像的置乱。但数字图像数据又有其特殊性,它包括象素的空间位置信息及颜色分量(或灰度值)信息,并且颜色分量值(或灰度值)有一定的取值范围。特别地,数字图像蕴涵的数据量庞大,因此在设计数字图像加密或置乱算法时,必须考虑数字图像数据自身的特点。

在数字图像的安全性技术研究方面,国内外专家已研究出如幻方变换法、仿射变换、Arnold变换、Fibonacci变换、混沌序列置乱法、图像分存及一些著名公钥密码体制方法和水印技术等。本文探讨椭圆密码公钥体制在数字图像置乱中的应用。

1 椭圆曲线密码体制

1.1 椭圆曲线简介

　　椭圆曲线是定义在射影空间上的三次曲线,而射影空间是基于绘图学和建筑学的需要,从研究透视技术发展而来的。

　　在射影空间中不存在平行的直线,但可假设其中的平行直线簇都相交于无穷远处的一点(称之为无穷远点)。这样,在射影空间中,相交直线和平行直线的概念得到了统一。

　　椭圆曲线的定义为:设K为一个有限域,K上的射影平面P2(K)是一些等价类的集合{(X:Y:Z)}(这里用(X:Y:Z)来表征射影平面上点的坐标),则给出Weierstrass方程:

　　可以看出它是一个三元二次方程。如果把方程右边全部移到左边,则左边就是一个三元二次型。椭圆曲线E就是光滑的Weierstrass方程在射影平面P2(K)的解集合。

　　椭圆曲线E有以下特性:

　　(1)椭圆曲线E上恰好有无穷远点,用θ(0:1:0)表示,该点一般都位于与X轴垂直的直线上。

　　(2)用X/Z=x,Y/Z=y代入(1)式,可得:

　　椭圆曲线E就是由方程(2)在射影平面P2(K)的全部平常点集外加一个无穷远点θ构成。

　　(3)若a_i∈K(i=1,2,3,4,6),则称椭圆曲线E是定义在K上的。

1.2 椭圆曲线上点的运算

　　设L为射影平面P2(K)上的一条直线,由于椭圆曲线E是三次曲线,所以直线L与椭圆曲线有三个交点,分别记为P、Q和R(当L与E相切时,P、Q、R可以不相异)。

　　定义一种广义加法“”,其运算如下:

　　PQ的运算结果为过无穷远点θ与R的直线与椭圆曲线E的交点(其中θ的位置一般位于横坐标轴上方的无穷远处)。

　　当L与E相切时,即在P与Q重合的情况下,PQ=2P,这就引进了点的数乘运算。

　　椭圆曲线及其数乘运算如图1所示,该图说明了椭圆曲线上点的数乘运算。设G=kP,其中P、G为椭圆曲线上的点,k为自然数。不失一般性,以椭圆曲线y²+y=x³-x²为例。图中的虚线正好把下列数乘运算的结果形象地描绘出来了。

　　从无穷远点θ出发,按顺序经过P、R、Q、M后再回到无穷远点θ处。在这里,由于5P=PM=θ,则称P的最小周期为5,也称P的阶为5。

1.3 基于椭圆曲线加密的原理

　　有2类有限域可用来定义椭圆曲线:(1)F_p素数有限域,其中p是奇素数。(2)F_m²特征2有限域。下面以定义在素数有限域F_p中的椭圆曲线为例对加密原理进行说明。给定一个方程:

　　其中,x、y、a、b∈F_p,则满足这个方程的点(x,y)和一个无限远点θ就组成了一个椭圆曲线,记为E_p(a,b)。设P,Q是该椭圆曲线上的2点,给出方程Q=xP,则由P和Q求出x是非常困难的。这正是椭圆曲线的离散对数问题,至今仍没有有效的方法来解决该问题,而这也就是把椭圆曲线作为加密算法的原理。椭圆曲线可以用参数集T=(p,a,b,G,n,h)来表示,其中p、a、b含义如上所述,G是该椭圆曲线上的一个基点,n是G的阶,h是由椭圆曲线上点的总数除以n得到。由以上参数可以惟一地确定一个椭圆曲线。然后,在[1,n-1]之间随机地确定一个整数,计算Q=dG,由此就确定了密钥对(d,Q)。

1.4 基于椭圆曲线的公钥密码体制的加/解密过程

　　本文提出一种较为简单的用椭圆曲线实现数字图像加密的方法。根据公式(3)的定义,一般取p为一个大的素数,设在该有限域上的椭圆曲线上包含N个点,则p满足N=k_p,而k是一个比较小的数。

　　(1)密钥生成

　　①从椭圆曲线Ep(a,b)上选取一点G,使得G的阶n是一个大素数。②在[1,n-1]中秘密选择整数d,这里n为G的阶,计算Q=dG。③公开(p,a,b,G,Q),Q为公钥。④保存私钥d。

　　(2)加密过程

　　①先把明文m变换成E_p(a,b)中的一个点P_m。②在[1,n-1]选择随机数k,计算密文C_m=[kG,P_mkP]。③如果k使得kG或者kP为θ,则要重新选择k。

　　(3)解密过程

　　使用私钥d进行如下运算就可以实现解密:

　　(P_mk_P)-d(k^_G)=PmkdG-dkG=Pm

　　在计算(P_mkP)-d(kG)时,根据(PmkP)-d(kG)=(PmkP)(-d(kG))进行。

　　从加密过程可以看到,明文m经加密之后变为二元对[kG,P_m+kP],信息量扩充了。在对图像信息加密时,由于寻找G比较耗时间,所以本文采用的方法是对于同一个G,对应于每个象素p_ij,只在[1,n-1](n为G的周期)中产生随机数d_ij作为私钥。

2 基于椭圆的公钥密码体制用于数字图像数据加密

2.1 p的取值问题

　　曲线上的合法点数N(即符合正整数的要求)与p的取值有很大关系,而周期n一般小于N,d在[1,n-1]间取值。所以加密密钥d的可选择个数跟p值的关系也很大。

　　但由于图像数据具有整体性(各象素是彼此相关的)和数据量大的特点,因此对于一个较小的解密矩阵D,即使其中的元素d_ij在[1,n-1]取值,也存在很多的组合。所以在图像加密中p并非一定要取大素数,以避免找周期为大素数的G点耗时长的问题。如果颜色分量矩阵的元素值或者象素灰度阶数在[0,255]间,可以取p为素数251。

2.2 把明文m转换为椭圆曲线上面的点P_m

　　为把明文m(图像象素灰度或颜色量值)转换为椭圆曲线上面的点Pm,可以先把明文m转变为曲线上某点的横坐标x,然后找出其对应的纵坐标y,构成P_m(x,y)。下面采用偏移表的方法来实现。

　　如果曲线上存在某点对应的横坐标为m,则直接把m作为横坐标,令偏移量offset=0;否则找出曲线上的某点(x,y)作为P_m(x,y),使得该点的横坐标与m相差最小,称之为偏移量offset=x-m。这样对应于整个颜色分量矩阵,就产生相应的偏移量表(Offset Table),称之为偏移表。

2.3 图像加密过程及实验

　　基于椭圆曲线公钥密码体制的数字图像加/解密算法流程如图2所示。

　　根据以上加/解密过程进行实验,实验图像和加/解密图像如图3所示。图中的图像(b)和(c)分别是加密(置乱)以后和解密(复原)以后的图像,可以看出在已知私钥复原以后的图像与原始图像没有差别,这是因为在加/解密过程中没有损失图像中的信息。

3 结 论

　　从实验情况来看,该方法的效果较理想。下面对椭圆曲线密码体制用于图像加密的安全性进行评价。

图像信息加密的安全性通过以下3个方面来保证:

　　(1)因为椭圆曲线上点的数乘运算的特殊性,即P=dG(其中P、G为椭圆上的点,d为一个数)是单向函数,所以已知G、d求P容易;而知道P、G求d很困难。

　　(2)这里采用的解密密钥D为一个M×N的矩阵,其中的元素为[1,n-1]间的随机数,可以看成是从[1,n-1]间抽出M×N个整数(可以重复),然后把它们排列。排法有(n-1)^M×N种,而对于图像来说M、N的数值很大且n也不小,所以(n-1)^M×N将是一个很大的数。

　　(3)因图像不同位置的颜色信息加密时用到的随机数都会不一样,故对于同一数据利用不同的随机数加密后将会得到不同的密文,即原来图像中颜色一模一样的点经过加密后会变成不同色的点,这样可以消除变换后图像的轮廓可见性。

　　基于以上三点,要通过求出d来破解利用椭圆曲线密码体制加密的图像是相当困难的。所以,从数据安全性角度说,椭圆曲线公钥密码体制用于图像加密是可靠的,具有实用性。

参考文献

1 Bauer F L著,吴世忠译.密码编码和密码分析原理和方法.北京:机械工业出版社,2001

2 王兵山.抽象代数.长沙:国防科技大学出版社,2001

3 纪纲,张小川.图像信息处理及图像数据库模型分析.计算机工程与应用,2003;39(8)

4 时慧,张大陆.基于椭圆曲线密码体制的SET协议.计算机工程,2001;27(12)

5 王学理,裴定一.椭圆曲线和三元二次型.中国科学(A辑),2001;31(8)