引言
太阳能电池作为一种清洁能源越来越受到广泛的关注。其光电转换效率很大程度上取决于多晶硅的质量，而多晶硅质量又取决于硅锭定向凝固过程中温度等工艺条件的控制。因此，对多晶硅凝固过程中温度场进行模拟是确定和优化工艺条件的高效、重要技术手段。
目前，国内外已经有一些学者在多晶硅凝固温度场数值模拟方面进行了研究，比如美国的马里兰大学对多晶硅定向凝固炉和热交换炉的温度场进行了模拟比较分析。美国纽约州立大学的郑丽丽博士对太阳能多晶硅定向凝固炉进行了计算模拟。中国有色金属研究总院的刘秋娣等也对多晶硅锭凝固过程的影响因素进行了分析及数值模拟。以往的研究通常假设了特定的边界条件，并且往往缺少实际温度的测量数据。因此，多晶硅铸锭炉温度场模拟过程中边界条件的确定仍然是一个关键问题。
本文提出一种基于PID控制原理对多晶硅铸锭炉边界条件进行反算的方法，并根据反算得出的边界条件对多晶硅定向凝固炉的温度场进行研究。
1多晶硅定向凝固工艺
图1为多晶硅铸锭炉加热室结构示意图。加热室是多晶硅铸锭炉的心脏，其内装有石墨加热器、坩埚、硅料和绝热罩等。图2表示铸锭炉加热工艺。多晶硅铸造主要工艺过程包括：加热、熔化、结晶、退火、冷却5个阶段。将装有硅料的石英坩埚放在石墨冷却板上，关闭炉膛后抽真空。加热待硅料完全熔化后，通过冷却板将硅料结晶时释放的热量辐射到下炉腔内壁上，使硅料中形成一个竖直温度梯度。这个温度梯度使坩埚内的硅液从底部开始凝固，向顶部生长。在加热与退火后续阶段，系统采用预先设置的功率控制；在其他阶段，系统采用预先设置的温度控制。功率控制时，系统调节的控制参数为占空比；温度控制时，采用靠近加热器的热电偶监测温度。
2数学模型
2.1几何模型
本文采用Gambit建立多晶硅铸锭炉几何模型并生成网格（图3）。
2.2模型假设
a)绝热罩温度恒定
b)各固体元件交界界面上无接触热阻
c)忽略炉内气体对流
2.3控制方程
根据多晶硅铸锭炉的传热方式，本文采用FLUENT中的P-1和Rosseland辐射传热模型模拟铸锭炉内的传热。相邻物体之间的导热采用Fourier导热定律，非稳态导热的控制方程：
式中λ表示导热系数，单位是W/(M·K)；cp表示比热容，单位是J/(Kg·K)。加热器与其他远离的物体之间的辐射传播方程(RTE)为：
式中r表示位置，s表示方向。
边界条件：多晶硅铸锭炉绝热罩四壁温度恒为300K；加热器热流密度通过两个监测点A和B的实测温度（TC1、TC2）为目标温度进行修正。各固体元件初始温度为300K。
2.4加热器热流密度PID确定方法
由于加热器的有效功率未知，因此加热器热流密度很难直接确定。本文以多晶硅铸锭炉加热室内两个监测点A和B的实测温度（TC1、TC2）为目标温度，利用PID控制原理，通过以上传热模型反算出不同时间加热器的热流密度。如图3所示，监测点A靠近加热器，监测点B靠近冷却板。由于A、B距离较远，并具有特征性，因此如果两监测点的计算温度与实测温度一致，则可说明所得出的加热器热流密度及整个铸锭炉内的温度场准确。
本文采用的PID控制系统原理如图4所示，系统由模拟控制器和被控对象组成。
模拟过程中给定值r(t)与实际输出y(t)构成的控制偏差为：
将偏差比例(P)、积分(I)和微分(D)通过一定的线性组合构成控制量e(t)对被控对象进行控制。其实施过程如图5所示。
PID控制中增量输出为：
式中：Δu(k)为第n次计算输出的加热器热流密度的变化量；e(k)、e(k-1)、e(k-2)分别为第k、k-1、k-2次输入的目标函数，即监测点控制温度；q0、q1、q2分别为相应系数。
3模拟结果与讨论
3.1PID方法反算加热器热流密度
图6为监测点A、B温度TC1和TC2随时间变化与该点模拟温度曲线的对比，图中real表示实际温度曲线，simulated表示仿真温度曲线。
由图6可见，TC1和TC2温度模拟结果与实测结果基本一致，在熔化和结晶阶段的模拟数据与实际数据吻合度较好，温度值和曲线重要拐点也模拟得较为准确。因此，本文采用的增量式PID可以实现加热器热流密度的反算，并且模拟精度较高，可以保证温度场计算的准确性。
3.2多晶硅铸锭炉内温度场
在反算出加热器热流密度的条件下，计算得出的多晶硅铸锭等温线及铸锭炉内温度场分别如图7和图8所示。
由图7(a)和图8(a)可见，在加热阶段，由于铸锭炉内温度迅速升高，加热炉和多晶硅锭内部出现明显的温度梯度，硅锭中心线处的温度比边缘处的要低一些，硅料的等温线呈现出微凸形，说明硅料加热从坩锅顶部及四周向中心进行。
由图7(b)和图8(b)可见，在熔化阶段炉内整体温度场上升较加热阶段稍有缓慢。等温线的密度相比加热阶段有稍有减小，即温度梯度减小。硅料逐渐接近熔化状态，硅料温度上高下低，硅料的熔化进程由上到下逐渐推进。
由图7(c)、(d)和图8(c)、(d)可见，在结晶阶段，炉内温度缓慢降低，铸锭炉内温度略有下降，整个温度场温度变化比较缓慢，炉内温度变化平稳。硅料内部等温线逐渐趋于稀疏，即硅料内部的温度梯度减小。硅料中的温度由上向下逐渐变低。而在硅锭中心线处的温度变化比硅锭边缘处的变化更缓慢，硅锭的等温线呈现出微凸形。从图7(c)、(d)和图8(c)、(d)中可以发现，硅锭中心线处的温度梯度比边缘处的温度梯度小。
由图7(e)和图8(e)可见，退火阶段温度较结晶阶段有所上升，温度梯度变化不明显。
由图7(f)和图8(f)可见，冷却阶段硅锭以及加热炉内温度迅速下降，并且硅锭温度比较均匀一致，硅锭中心线处的温度比硅锭边缘处的高，硅锭的等温线呈现出微凹形，说明冷却板中心冷却强度最大。
4结论
本文用增量式PID控制方法在已知监测点温度变化曲线的前提下，有效反算出多晶硅铸锭炉加热器热流密度边界条件。采用同样的方法还可以反算确定冷却板的热流密度等其他边界条件。采用这一方法得出的多晶硅铸锭炉温度场结果表明：在加热阶段，多晶硅锭加热从顶部及四周向底部中心传递；在熔化阶段，硅料温度梯度逐渐减小；在结晶阶段，硅锭中的温度由上向下逐渐变低。在退火及冷却阶段，硅锭中的温差变得更小。模拟结果对设计多晶硅凝固工艺有实际意义。