【最牛B电工】【原创】我的这一年，痛并快乐着

发表于 2013/12/24 17:28:11 阅读（5404）

这一年，经历了很多，年底了，给大家分享一下，作为未来起航的新起点。

2013进入了博士三年级，总体上来说，进入了一个全新的领域，这个领域在未来会很火很火，关键词叫：Compressive Sensing，全称为：压缩感知。这个领域的主要贡献在于突破了nyquist采样定律，传统的要完整的重现原信号，采样频率应该为信号频率的二倍，现在只需要很少的信号就能完全重建原信号，有个没有证明的定律，就是现在只需要在一定条件下，获取原信号的1/4的信号就能完整重建原信号。主要涉及到的关键词还有：稀疏表示，字典学习，凸优化。可以说是数学与工程的完美结合，用一幅图就能说明问题：

其中上面的是传统的采样方法获取一副图像，而下面这幅就是采样压缩感知采样获得的图像，从图像上看基本相同，但是采样的measurements去少了很多，这一突破性的成果有三位著名的科学家挖了个坑，值得一提的是有我们国家的陶哲轩，目前活跃在这一领域的也有很多华人。

我个人的工作主要在于利用这一成果进行遥感图像方面的研究，刚刚入门并且取得了一点点成绩，在某一级学报发表一篇小论文，目前正在做更深入的研究，有望在最近有点小突破，主要利用了正交匹配追踪算法实现图像的去噪和分类，具体过程如下：

整个算法如下：

•Execute steps 1 to 5 circularly:

•Step 1: find the maximum value of the inner product of residual r and the column of sensing matrix φj, the corresponding foot mark is λ;

•Step 2: renew the index set Λt=Λt-1∪{λ} , the sensing matrix Φt=[Φt-1, φλ];

•Step 3: solve x*t=min||y- Φtx*||2 by least-square method;

•Step 4: renew the residual rt=y-Φtx*t, t=t+1;

•Step 5: if t>K, stop the iteration, else do step 1.

据此可以得到如下简单的matlab代码：

% 1-D信号压缩传感的实现(正交匹配追踪法Orthogonal Matching Pursuit)
% 测量数M>=K*log(N/K),K是稀疏度,N信号长度,可以近乎完全重构
% 编程人--香港大学电子工程系沙威 Email: wsha@eee.hku.hk
% 编程时间：2008年11月18日
% 文档下载: http://www.eee.hku.hk/~wsha/Freecode/freecode.htm
% 参考文献：Joel A. Tropp and Anna C. Gilbert
% Signal Recovery From Random Measurements Via Orthogonal Matching
% Pursuit，IEEE TRANSACTIONS ON INFORMATION THEORY, VOL. 53, NO. 12,
% DECEMBER 2007.

clc;clear

%% 1. 时域测试信号生成
K=7; % 稀疏度(做FFT可以看出来)
N=256; % 信号长度
M=64; % 测量数(M>=K*log(N/K),至少40,但有出错的概率)
f1=50; % 信号频率1
f2=100; % 信号频率2
f3=200; % 信号频率3
f4=400; % 信号频率4
fs=800; % 采样频率
ts=1/fs; % 采样间隔
Ts=1:N; % 采样序列
x=0.3*cos(2*pi*f1*Ts*ts)+0.6*cos(2*pi*f2*Ts*ts)+0.1*cos(2*pi*f3*Ts*ts)+0.9*cos(2*pi*f4*Ts*ts); % 完整信号

%% 2. 时域信号压缩传感
Phi=randn(M,N); % 测量矩阵(高斯分布白噪声)
s=Phi*x.'; % 获得线性测量

%% 3. 正交匹配追踪法重构信号(本质上是L_1范数最优化问题)
m=2*K; % 算法迭代次数(m>=K)
Psi=fft(eye(N,N))/sqrt(N); % 傅里叶正变换矩阵
T=Phi*Psi'; % 恢复矩阵(测量矩阵*正交反变换矩阵)

hat_y=zeros(1,N); % 待重构的谱域(变换域)向量
Aug_t=[]; % 增量矩阵(初始值为空矩阵)
r_n=s; % 残差值

for times=1:m; % 迭代次数(有噪声的情况下,该迭代次数为K)
for col=1:N; % 恢复矩阵的所有列向量
product(col)=abs(T(:,col)'*r_n); % 恢复矩阵的列向量和残差的投影系数(内积值)
end
[val,pos]=max(product); % 最大投影系数对应的位置
Aug_t=[Aug_t,T(:,pos)]; % 矩阵扩充
T(:,pos)=zeros(M,1); % 选中的列置零（实质上应该去掉，为了简单我把它置零）
aug_y=(Aug_t'*Aug_t)^(-1)*Aug_t'*s; % 最小二乘,使残差最小
r_n=s-Aug_t*aug_y; % 残差
pos_array(times)=pos; % 纪录最大投影系数的位置
end
hat_y(pos_array)=aug_y; % 重构的谱域向量
hat_x=real(Psi'*hat_y.'); % 做逆傅里叶变换重构得到时域信号

%% 4. 恢复信号和原始信号对比
figure(1);
hold on;
plot(hat_x,'k.-') % 重建信号
plot(x,'r') % 原始信号
legend('Recovery','Original')
norm(hat_x.'-x)/norm(x) % 重构误差
你可以直接复制粘贴得到如下结论：