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对卷积的一点理解

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对卷积的一点理解

在图像处理中,经常会遇到高斯光滑的操作,大部分人也都知道将图像与高斯函数卷积就实现了高斯光滑的操作,但是为什么?

卷积公式如下:

0$YFBSFWM}JCKXTYT@FZ@AF.png

从公式中可以看出,卷积是两个函数的乘积的积分,其中\tau的范围即是函数f的定义域。这里假定函数f即是我们的图像函数。

由积分的意义我们可以知道,如果只对f(x)进行积分,那么首先对f(x)进行无限分割,然后求和,即:

SGO69L`A0]G5WP~5(_A[5DQ.png

现在,对于卷积的计算,我们也是先对f(x)进行分割,然后对于分割后的每一个点都乘以一个值,即:(这里对于每一次计算,t作为一个常量看待)

~YXKM83FVEL$9%[J0TRX6VQ.png

从上面的积分角度的理解可以看出,我们相当于对f(x)进行了一个加权求和。

现在我们看看当函数g为高斯函数(考虑均值u=0)的情况,显然对于每一个t,当\tau=t时,函数值g最大,也就是f(t)这个点对应的权重最大,也可以说它的重要性最大,所以,我们给它最大的权重。

在处理图像时,我们通常设置一个平滑窗口,例如3*3窗口,5*5窗口等,显然图像中的每个像素点(除了边缘点)都是以这个点为中心的窗中各个像素的加权平均,这样对每个点的像素值的求取都考虑到了邻域中点的像素值,这样就会使每个点的像素值与其邻域中的像素值的差值减少,达到了平滑的效果。



看了TiffanyZhou的博客,发现对我的了解有很大帮助。


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